Analisi Matematica I Teoria ed esercitazioni corso completo

Insiemi

Insiemi: A, B.

Elementi: a, b.

• x ∈ A appartenenza.
• x ∉ A non appartenenza.

Insiemi numerici

Insiemi numerici: naturali ℕ +, - interi ℤ +, -, ⋅, ÷ razionali ℚ +, -, ⋅, ÷, [^l/m, m ≠ 0] reali ℝ +, -, ⋅, ÷, √, [^l/m, m ≠ 0] complessi ℂ.

Es. soluzioni x² = 2.

Es. soluzioni x³ = 1.

Appartenenza, sottoinsiemi e rappresentazione

Sia X ≠ Ø. Ø insieme vuoto.

• A ⊆ X contenuto, A sottoinsieme di X.
• A ⊂ X sottoinsieme proprio.

Elementi che sono in X ma non in A → diagramma di Venn.

Rappresentazione:

A = {x₁, x₂, ..., x_n}

A = {x ∈ X /_i p(x)} tali che.

Es. A: {0,1,2,3,4} o A: {x ∈ ℕ / x < 4} p(x) = x ≤ 4.

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano.

X, Y insiemi ≠ Ø non vuoti.

x × y = {(x, y), coppie ordinate x in X, y in Y}.

• X = Y → X × Y = X².
• X : Y = ℝ → ℝ × ℝ = ℝ².

Σ un modello matematico del piano [fissa punti nel piano].

P : (x, y).

Insieme delle parti

Sia X ≠ Ø.

Ø(X) = insieme delle parti di X (matrice).

È l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X.

Ø è un sottoinsieme con Ø.

Ø ⊂ X, X ⊆ Ø(X).

Insiemi: seconda trascrizione

Insiemi: A, B.

Elementi: a, b.

• x ∈ A appartenenza.
• x ∉ A non appartenenza.

Insiemi numerici: seconda trascrizione

Insiemi numerici:

• Naturali IN +, -.
• Interi Z +, -, ·, :.
• Razionali Q +, -, ·, : [l/m ≠ 0].
• Reali IR +, -, ·, : [l/m ≠ 0].
• Complessi C.

Es. soluzioni x² = 2.

Es. soluzioni x³ = 1.

Sottoinsiemi e predicato logico

Sia x ≠ ∅ insieme vuoto.

• A ⊆ X contenuto, A sottoinsieme di X.
• A ⊂ X sottoinsieme proprio.

Elementi che sono in X ma non in A.

Diagramma di Venn.

Rappresentazione:

A = {x₁, x₂, ..., xₙ}.

A = {x ∈ X | p(x)} tale che p(x) predicato logico.

Es. A = {0, 1, 2, 3, 4} o A = {x ∈ IN | x ≤ 4} p(x) = x ≤ 4.

[diff. elementi e sottoinsiemi]

Prodotto cartesiano: seconda trascrizione

Prodotto cartesiano.

X, Y insiemi ≠ ∅ non vuoti.

X × Y = {(x, y)} coppie ordinate x in X, y in Y.

• X = Y ➔ X × Y = X².
• X : Y : IR ➔ IR × IR = IR².

È un modello matematico del piano [fissa punti nel piano].

p -1(x, y).

Parti di un insieme e cardinalità

Sia X ≠ ∅.

P(X) = insieme delle parti di X (maiuscola).

È l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X.

∅ è un sottoinsieme con X.

∅ ⊂ X, X ⊂ X, ∅ ⊆ X ∈ P(X).

A = {x | x {1, 2, 3}}.

#(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

N.B.

Cardinalità di A = ∮ elementi di A.

card(A) = ∮A∮.

#(∅(X)) = 8 = 2³.

In generale #X = m => #(∅(X)) = 2^m.

m = 3.

Terno binario posti occupazione di 1:

• 0 . 0 . 0 : {∅}.
• 1 . 0 . 0 : {1}.
• 0 . 1 . 0 : {2}.
• 0 . 0 . 1 : {3}.
• 1 . 1 . 0 : {1, 2}.
• 1 . 0 . 1 : {1, 3}.
• 0 . 1 . 1 : {2, 3}.
• 1 . 1 . 1 : {1, 2, 3} = X.

#∅(X) = #({x₁, x₂, x₃}) = x_i ∈ ℕ {0, 1}.

Esempio Ergo.

Definizioni insiemi Ex:

A:{a}.

#∅(∅{a}).

Operazioni insiemi

Operazioni insiemi.

X - complementazione:

A ⊆ X => A¹ = {X ∈ X - x ∉ A}.

X ∈ ℕ, A : pari ~ comp. m dispari.

Intersezione A, B ⊆ X.

A ∩ B.

Se A ∩ B = ∅ A e B si dicono disgiunti.

"unione A ∪ B.

Proprietà U ∩ n.

• Commutativa.
• Associativa.
• Distributiva.

Leggi di De Morgan

Leggi di De Morgan.

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c.

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c.

^c = complementare.

A \ B insieme differenza.

A \ B = A ∩ B^c.

A ma non in B.

A Δ B differenza simmetrica.

(A,B) ∪ (B,A) = (A ∪ B)∖(A ∩ B).

Alcune grandezze utili

Alcune grandezze utili.

m ∈ IN : m! = m (m - 1) (m - 2) … 1.

Fattoriale.

4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.

Coeff. trinomiale

Coeff. trinomiale.

( m ) con k ≤ m naturali.

( k ) = m! / k! (m - k)!

( 5 ) = 5!

( 2 ) = 2! 3!

( m ) ( m ) - 1 = 1, ( m ) / (m - 1) = m.

( k ) ( k - 1 ) k.

( m ) = ( m - 1 ) + ( m - 1 ).

( k ) ( k - 1 ).

Triangolo di Tartaglia e binomio di Newton

Triangolo di Tartaglia.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 → coeff. di (a + b)⁴.

(a + b)^m = Σ ( m ) a^k b^m-k.

k = 0.

k.

Formula binomio di Newton.

( m ) m sottoinsiemi con k elementi che posso formare avendo un insieme di m elementi.

( k ).

Esempio finale

Ex: fare class.

X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

m : 6.

K : 3.

Cardinalità.

( 6 ) = 20.

( 3 ).