Analisi matematica I - algebra delle matrici

Algebra delle matrici IA

Matrice A con m righe e n colonne a_ij = elemento di A (tra i-esima riga e j-esima colonna).

Se matrici di uguale numero di righe e colonne, si possono sommare, sottraendo l'elemento per elemento.

A[ 1 3 4 ] [2 2 4] [ 1 + 2 3 - 4 4 2 ] = c - A + B[ 4 3 4 ] - [2 1 2] = [0 3] [1 - 1 -2][ 4 2 2 ] c = a_ij = a_ij + b_ij[ a_ij b_ij ........... ]

Moltiplicazione

Moltiplicazione di una matrice per uno scalare: x(m,n) Amm x o∈R xA [(a_ij)x] = [3 4 4] = [0 a_ij, a_ij a_ij]

Esempio: m(2,3) = V spazio nin _n, siano i subspazi servizi...

Si con le combinazioni lineari si ottiene una nuova matrice con A righe e B colonne.

Base e dimensione

n×m

Base canonica

a) c) [ 1 0 0 0 ] [0 0 0] b) d) [ 0 1 0 0 ] [1 0 0] e) [ 0 0 0 ] [ 0 1 ]

Dimensione = G

Esempio: V insieme di tutti i polinomi in x.

Es: x 1 x₂ x₃ polinomi in x² l'insieme dei generatori di V V spazio vettorio di dimensione infinito.

Spazi vettoriali: dimensione finita = R in M(2,3)... (Spazi euclidei) Dimensione infinita (l'insieme dei polinomi).

Insieme di funzioni continue.

Sin x\ subset inclus

Algebra delle matrici IA

mxn Matrice A con m righe e n colonne... a_ij: elemento di A i-esima riga e j-esima colonna...

Le matrici di uguale numero di righe e di colonne si possono sommare, sottraendo.

es. somma A | 1 0 2 4 | + B | 1 4 1 0 | = C = A+B | 2 4 3 4 || 3 4 2 3 | | 0 2 0 2 | | 3 6 2 5 |

a_ij = a_ij + b_ij...

Moltiplicazione per uno scalare

Moltiplicazione di una matrice per uno scalare r...

es. m(2,3) lucuale di A (3 righe e 2 colonne) | a, b; c, e; f, g | a* |1 0 0 0 0 0| + b* |0 1 0 0 0 0| + c* |0 0 1 0 0 0| ... | d, e | = Somma delle combinazioni lineari si ottiene una nuova matrice con a righe e b colonne...

Base e dimensione di M

Base canonica a | 1 0 0 | b | 0 1 0 | 0 ...e 0 0 1 0 0 1 ......

Dimensione - Ges. Y insieme di tutti i polinomi n≥3 {λx_n, λx_n-1, ..., x} l'insieme minimo di generatori di V insieme |x| λx² si riduce ...

Spazi vettoriali - Dimensione finita Rⁿ M(2,3)... (spazi euclidei) - Dimensione infinita ... (insieme dei polinomi).

Insieme di funzioni continue segn. segn. insieme dei polinomi coskx| R uniforme.

Formula esponenziale

z₁ = (cosθ + isinθ) = g^eiθ

Formula di Eulero cosθ + isinθ = e^iθ

z₁z₂ = g₁z₁ cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)

In g esponenziale: z₁z₂ = g₁ e^iθ₁ g₂ e^iθ₂ = g₁ g₂ e^{i(θ₁ + θ₂)}

Algebra delle matrici II

A(m,n) a_ij = a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁ ..... a_m1 a_m2

Date le matrici con numero di righe e colonne assegnato, è possibile eseguire il prodotto tra matrici.

Prodotto tra matrici

A(c,p) ⋅ B(q,s)

Il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

A × B = C (p,s) (C è una matrice con lo stesso n° di righe di A e lo stesso n° di colonne di B.)

C_i,j = Σ a_ik ⋅ b_kj

Prodotto scalare tra righe della prima matrice e colonne della seconda A = ^{n° colonne di A ↔ n° righe di B} B = C = (2,3)

Proprietà

Associativa (A×B) × C = A × (B×C), A = B×C

Non-commutativa A×B = B×A

Sistemi lineari

Sistemi lineari con m righe ed n incognite:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2mx_m = b₂

...a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_nmx_m = b_m

A x = b

Terminologia

1) A è quadrata se (n, n)

Diagonale <=> o_ij = 0                         ∀ i ≠ j 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Matrice identità ₁