Analisi Matematica I

Analisi matematica

Prof.ssa: Luisa Faella

I numeri e le funzioni reali

Esiste un sistema di numeri chiamato numeri reali, in cui possiamo eseguire tutte e quattro le operazioni. I numeri possiedono delle proprietà racchiuse in un assioma. Dividiamo queste proprietà in tre gruppi: relative alle operazioni, all'ordinamento e l'assioma di completezza.

Assiomi dei numeri reali

Assiomi relativi alle operazioni (+,*)

• Proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c), (a * b) * c = a * (b * c)
• Proprietà commutativa: a + b = b + a, a * b = b * a
• Proprietà distributiva: a * (b + c) = a * b + a * c
• Esistenza degli elementi neutri: 0, 1, a + 0 = a, a * 1 = a
• Esistenza degli opposti: l'opposto è un numero reale unico per cui -a, a + (-a) = 0
• Esistenza degli inversi: l'inverso di un numero reale non nullo è unico, per cui a^-1 ≠ 0, a * a^-1 = 1

Assiomi relativi all'ordinamento

• Dicotomia: a ≤ b oppure b ≤ a
• Proprietà asimmetrica: se a ≤ b e b ≤ a, allora a = b
• Transitività: se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c
• Proprietà dell'addizione: se a ≤ b, allora a + c ≤ b + c
• Proprietà della moltiplicazione: se 0 ≤ a e 0 ≤ b, allora 0 ≤ a * b

Assioma di completezza

Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali con la proprietà che, comunque si scelgano a in A e b in B, a ≤ b. Allora esiste almeno un numero reale c tale che, qualunque siano a in A e b in B, a ≤ c ≤ b.

Gli insiemi

Sia S un insieme. Allora x ∈ S implica dire che x appartiene a S; x ∉ S implica dire che x non appartiene a S. Se A è un insieme i cui elementi sono anche di S, allora diciamo che A è un sottoinsieme di S. Tra i sottoinsiemi di S troviamo l'insieme vuoto, che si indica con ∅.

Se A e B sono due sottoinsiemi di S, l'intersezione A ∩ B è l'insieme degli elementi di S che sono comuni ad A e B: A ∩ B = {x ∈ S : x ∈ A e x ∈ B}. L'unione di A e B è l'insieme degli elementi di S che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B: A ∪ B = {x ∈ S : x ∈ A oppure x ∈ B}.

Diremo che A è contenuto in B se ogni elemento di A è anche elemento di B: A ⊆ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). Se A è contenuto in B ed è diverso da B, A è una parte impropria di B.

Se A e B sono due sottoinsiemi di S, il complemento di B rispetto ad A è l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B: A - B = {x ∈ A : x ∉ B}. Per A = S, l'insieme S - B, si chiama complementare di B e si indica con B^c.

L'insieme di tutti i sottoinsiemi di S si indica con P(S) e si chiama insieme delle parti di S.

Prodotto cartesiano

Siano A e B due insiemi. Il prodotto cartesiano di A e B è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) con la prima coordinata a appartenente ad A e la seconda coordinata b appartenente a B: A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Nel caso in cui A = B, il sottoinsieme di A × A si chiama relazione binaria in A.

Relazioni e funzioni

Una relazione binaria in A si chiama relazione di equivalenza se gode delle seguenti proprietà:

• Riflessiva: ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ ∼
• Simmetrica: ∀ a, b ∈ A, se (a, b) ∈ ∼ allora (b, a) ∈ ∼
• Transitiva: ∀ a, b, c ∈ A, se (a, b) ∈ ∼ e (b, c) ∈ ∼ allora (a, c) ∈ ∼

Se (a,b) ∈ ∼ si scrive a ∼ b e si dice che a e b sono equivalenti. Indichiamo con [a] la classe di equivalenza. L'insieme delle classi di equivalenza rispetto a ∼ si chiama insieme quoziente e si indica con il simbolo A/∼ = {[a] : a ∈ A}.

Una relazione binaria su A si chiama relazione d'ordine se gode delle seguenti proprietà:

• Riflessiva
• Transitiva
• Asimmetrica: ∀ a, b ∈ A, se (a, b) ∈ ∼ allora non può essere (b, a) ∈ ∼ se a ≠ b

Numeri naturali, interi, razionali

I risultati delle operazioni +,* si eseguono nel sottoinsieme dei numeri Reali, l'insieme dei numeri naturali N: N = {1, 2, 3, 4,...}. Indichiamo poi con Z, insieme dei numeri interi o relativi, il sottoinsieme di R costituito dai numeri in N, i loro opposti e lo zero: Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}.

I risultati della divisione m/n con m, n ∈ Z, n ≠ 0 si chiamano numeri razionali Q: Q = {m/n : m, n ∈ Z, n ≠ 0}. Risulta infine che Q è l'insieme che più si avvicina a R, ma non soddisfa l'assioma di completezza, poiché non si possono svolgere le radici in esso.

Funzioni e rappresentazione cartesiana

Siano A e B due insiemi di numeri reali. Una funzione di A in B è una legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed un solo elemento di B. Se indichiamo con f tale funzione scriveremo f: A → B, oppure y=f(x). Si dice che A è il dominio o insieme di definizione di f. Il simbolo f(x) indica un complesso di operazioni che devono effettuarsi su x (argomento di f) per ottenere y (valore di f).

La rappresentazione cartesiana di una funzione si ottiene ponendo due rette perpendicolarmente; il punto di intersezione sarà l'origine degli assi, O. Fissiamo sulle due rette una direzione positiva ed una unità di misura. Chiameremo asse delle ascisse, o asse x, una delle due rette; asse delle ordinate o asse y, l'altra retta. Ad ogni numero reale x corrisponde in modo biunivoco un punto P₁ sull'asse x scelto in modo che il segmento OP₁ abbia lunghezza uguale ad x. Analogamente ad ogni numero reale y corrisponde un punto P₂ dell'asse y, tale che il segmento OP₂ abbia lunghezza uguale a y. Tracciamo due rette parallele agli assi e passanti per i punti. Il punto P di incontro corrisponde in modo biunivoco alla coppia di numeri reali (x,y). Se è assegnata una funzione f, in corrispondenza alle coppie di numeri reali (x, f(x)) abbiano un insieme di punti nel piano, che costituisce il grafico della funzione.

Funzioni invertibili e monotone

Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti hanno immagini distinte: f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂. La funzione è suriettiva se per ogni y di B esiste almeno un x di A tale che y=f(x). Una funzione è biunivoca quando è sia iniettiva che suriettiva. Quindi f fa corrispondere oltre che ad ogni x di A uno ed un solo valore di y di B, anche ad ogni y di B uno ed un solo valore di x di A tale che y=f(x). In queste condizioni si dice che la funzione è invertibile. La funzione da B a A è detta funzione inversa e si indica con f^-1: f^-1(f(x)) = x, ∀ x ∈ A; f(f^-1(y)) = y, ∀ y ∈ B.

Una funzione è monotona in un insieme A, se si verifica una delle seguenti condizioni:

• f strettamente crescente: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• f crescente: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
• f strettamente decrescente: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
• f decrescente: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Sia f: A → B. Se X è un sottoinsieme di A, l'immagine di X mediante f, indicata con f(X), è il sottoinsieme di B definito da: f(X) = {y ∈ B : ∃ x ∈ X : y = f(x)}. L'insieme f(A) si chiama codominio di f. f è suriettiva da A verso B se e solo se il suo codominio coincide con B. Se Y è un sottoinsieme di B, l'immagine inversa di Y mediante f, indicata con f^-1(Y) è il sottoinsieme di A definito da: f^-1(Y) = {x ∈ A : f(x) ∈ Y}.

Siano X, Y, Z tre insiemi e siano g: X → Y e f: Y → Z. Allora si può considerare la funzione composta h: X → Z definita da h(x)=f(g(x)) per x ∈ X.

Funzioni lineari e funzione valore assoluto

Si chiama funzione lineare o affine: y= mx+q; con m (coefficiente angolare), q numeri reali fissati. Ogni funzione lineare è monotona su R e strettamente monotona se m ≠ 0. La funzione è crescente per m > 0; decrescente per m < 0; contemporaneamente crescente e decrescente se m=0 (parallela all'asse x e costante): y = mx + q.

La funzione lineare è anche una funzione invertibile tranne nel caso di m=0. Il valore assoluto o modulo di x, indicato con |x| è definito da: |x| = x se x ≥ 0; -x se x < 0. Il grafico della funzione valore assoluto f(x)=|x| è composto da due semirette di equazione y=x, y=-x, aventi quindi origine nel punto O. Questa funzione ha le seguenti proprietà:

• |x| ≥ 0, ∀ x ∈ R
• |x| = 0 ⇔ x = 0
• |-x| = |x|, ∀ x ∈ R
• |x₁*x₂| = |x₁| * |x₂|, ∀ x₁, x₂ ∈ R
• |x₁/x₂| = |x₁| / |x₂|, ∀ x₁, x₂ ∈ R, x₂ ≠ 0

Per ogni numero reale r ≥ 0 valgono le equivalenze: |x| ≤ r ⇔ -r ≤ x ≤ r, |x| < r ⇔ -r < x < r.

Disuguaglianza triangolare

Per ogni coppia di numeri reali x₁, x₂ vale la disuguaglianza: |x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂|. Al secondo membro della disuguaglianza compare solo la somma di numeri positivi o nulli, mentre a primo membro il modulo della somma algebrica di x₁ e x₂; se i segni di questi ultimi sono discordi, il primo membro è minore del secondo, mentre se i segni del secondo membro sono concordi, allora i due membri sono tra loro uguali.

Funzioni potenza, esponenziale, logaritmo

Consideriamo la funzione potenza con esponente n ∈ N: f(x) = xⁿ, ∀ x ∈ R. Bisogna moltiplicare il numero x per se stesso n volte. f è strettamente crescente per x ≥ 0, cioè: 0 ≤ x₁ < x₂ ⇒ x₁ⁿ < x₂ⁿ. La stretta monotonia implica che la funzione è anche invertibile. La funzione è strettamente crescente se n > 0 o se x > 1; strettamente decrescente se n < 0 o se x < 1; la funzione è costante se x = 1 e non invertibile; è invertibile se x ≠ 1. Perciò è definita la funzione inversa di f(x) = xⁿ che si chiama funzione radice n-esima: f^-1(x) = x^1/n, x ≥ 0.

Si può così definire l'elevazione a esponenziale razionale: a^b, con a numero reale positivo e b numero razionale, ha proprietà:

• (a^b)^c = a^b+c
• (a^b)^c = a^b*c
• a^b > 0
• Se a < b e c > 0, allora a^c < b^c
• Se a < b e c < 0, allora a^c > b^c
• Se a > 1, b < c ⇒ a^b < a^c
• Se a < 1, b > c ⇒ a^b > a^c

Un caso importante di funzione esponenziale si ha quando la base è uguale al numero di Nepero e = 2.7… e > 1. In tal caso la funzione sarà f(x) = e^x; dato che la funzione sarà crescente. La funzione inversa è definita sui numeri reali positivi e si chiama funzione logaritmo e si scrive y = log_ax ⇔ a^y = x. Se si omette l'indicazione della base questa sarà 10. Se la base è maggiore di 1 il logaritmo è una funzione strettamente crescente, mentre se è compresa fra 0 e 1 sarà strettamente decrescente.

• log_a(x₁ * x₂) = log_ax₁ + log_ax₂, x₁, x₂ > 0
• log_a(x₁ / x₂) = log_ax₁ - log_ax₂, x₁, x₂ > 0
• b * log_ax = log_a(x^b), x > 0
• log_bx = log_ax / log_ab, x > 0

Funzioni trigonometriche

Definiamo la misura di un angolo piano espressa in radianti. Essa è data dalla lunghezza dell'arco di circonferenza di raggio 1 e centro nel vertice dell'angolo intercettato dalle due semirette individuanti l'angolo. Si indica con π la lunghezza di una semicirconferenza di raggio 1, quindi un angolo piatto misura π e un angolo retto π/2. Il verso di rotazione sarà preso positivo antiorario a partire dall'asse x.

Le funzioni sinx e cosx si definiscono rispettivamente come l'ordinata e l'ascissa del punto che si trova sulla circonferenza di raggio 1 e centro l'origine che sottende un angolo orientato di lunghezza x, a partire dall'asse x. Le funzioni sen x e cos x sono definiti per ogni x ∈ R, mentre l'immagine delle due funzioni è compresa tra -1 e 1. Queste due funzioni sono anche di tipo sinusoidale, cioè ripetitive dopo un certo valore come si denota dai loro grafici.

Preso un quadrato, si ottenga dai lati dei triangoli rettangoli. L'area della figura si può calcolare come area del quadrato, uguale a (a+b)²; o come area della somma dei 4 triangoli che abbiamo formato più quella del quadrato inscritto formatosi, uguale a 4(ab/2) + c². Perciò l'area totale è: 2ab + c² = a² + b² + 2ab da cui il teorema di Pitagora a² + b² = c².

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di cateti |sinx| e |cosx| e ipotenusa uguale a 1, si trova la legge fondamentale: sin²x + cos²x = 1. Da cui le formule di addizione:

• sin(x ± y) = sinx cosy ± cosx siny
• cos(x ± y) = cosx cosy − sinx siny
• Se scegliamo il segno meno nelle precedenti e poniamo x = y, otteniamo le formule di duplicazione: sin 2x = 2 sinx cosx, cos 2x = cos²x - sin²x

A partire da sinx e cosx si definisce la funzione tangente come: tg x = sin x / cos x, cos x ≠ 0. Dalla rappresentazione grafica possiamo dire che la tangente non esiste se x = π/2 + kπ, k ∈ Z.

Principio di induzione

Supponiamo che una proposizione dipendente da un indice n ∈ N sia vera per n=1 e che inoltre, supposta vera per n, sia vera anche per il successivo n+1. Allora la proposizione è vera per ogni n ∈ N.

Disuguaglianza di Bernoulli

Per ogni numero reale x ≥ -1, e per ogni numero naturale n, risulta: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx. Dimostriamo che se è vera per n, è valida per il suo successore moltiplicando entrambi i membri per 1 + x. Svolgendo i calcoli otterremo che al secondo membro comparirà l'n+1, e quindi per il principio di induzione sarà provata.

Si può anche dimostrare una progressione geometrica di ragione x ≠ 1: 1 + x + x² + x³ + ... + xⁿ = (1 - xⁿ⁺¹)/(1 - x); la quale è dimostrata per n=1. Supponendo verificata l'equazione procederemo aggiungendo ai membri xⁿ⁺¹.

Complementi ai numeri reali

Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore

Sia A un insieme di numeri reali. Il massimo di A è un numero M maggiore o uguale ad ogni altro elemento dell’insieme: M = max A ⇔ M ≥ a, ∀ a ∈ A; M ∈ A. Analogamente il minimo è un numero m minore o uguale ad ogni altro elemento in A: m = min A ⇔ m ≤ a, ∀ a ∈ A, m ∈ A. Questi due numeri sono unici.

Un numero reale L si dice maggiorante per un insieme A se L ≥ a per ogni a ∈ A. Un numero l è un minorante di A, se l ≤ a per ogni a ∈ A. Un insieme A non sempre ammette maggioranti e minoranti.