Analisi Matematica 2 - prima parte

Analisi II

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Indice

• Spazi metrici.
• Esempi di spazi metrici.
• Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz.
• Spazio euclideo ad n dimensioni.
• Cerchio e circonferenza.
• Insieme limitato.
• Diametro di un insieme X.
• Punti interni, esterni e di frontiera.
• Punti di accumulazione.
• Insiemi discreti e aperti.
• Chiusura di un insieme.
• Successioni.
• Teorema 1: dell’unicità del limite.
• Successioni estratte.
• Successioni di Cauchy o fondamentali.
• Spazio metrico completo.
• Insieme sequenzialmente compatto.
• Distanza tra due insiemi.
• Funzioni.
• Funzioni continue ed uniformemente continue.

Spazi metrici

Sia S un insieme di natura qualunque non vuoto. Data una funzione fd : S x S R diremo che f è una distanza o metrica per l’insieme S se gode delle seguenti proprietà 

• D( x,y ) => 0 x, y S
• D( x,y ) = 0 x = y x, y S
• D( x,y ) = d( y,x ) x, y S
• D( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z ) x,y,z S

La coppia formata da S e una sua metrica d si definisce spazio metrico.

Esempi di spazi metrici

( R , d( x,y ) = | x – y | )

Proprietà 1

D( x,y ) => 0

È verificata perché il valore assoluto è sempre non negativo.

Proprietà 2

D( x,y ) = 0 x = y dimostriamo prima che d( x,y ) = 0 x = y  d( x,y ) = 0 | x – y | = 0 x – y = 0 x = y

Dimostriamo che x = y d( x,y )= 0  x = y x – y = 0 | x – y | = 0 d( x,y ) = 0

Proprietà 3

D( x,y ) = d( y,x )

D( x,y ) = | x – y |

D( y,x ) = | y – x | x – y = - ( y – x) | x – y | = | y – x | perché hanno lo stesso modulo, ma segno contrario.

Proprietà 4

D( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z )

D( x,y ) = | x – y |

Aggiungiamo e sottraiamo z d( x,y ) = | x – z + z – y | = | (x – z) + ( z – y ) | ma il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori assoluti. d( x,y ) <= | x – z | + | z – y | d( x,y ) <= d( x,z ) + d ( z, y )

Abbiamo dimostrato che d è una metrica per R.

Esempio 2

Prendiamo come insieme S = C( [a,b] ) l’insieme delle funzioni reali e continue nell’intervallo chiuso a,b. C( [a,b] ) = { f : [a,b] R, continue in [a,b] }

Definiamo una distanza d su C( [a,b] ) come  d( f,g ) = max | f(x) – g(x) | x a,b

La differenza di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Il valore assoluto di una funzione continua dà una funzione continua. La distanza d così definita è quindi una funzione continua in [a,b]. 

Proprietà 1

D( f,g ) => 0 f,g C([a,b])

Dal teorema di Waistrass, una funzione continua e limitata in un intervallo chiuso [a,b] ammette un massimo e un minimo finiti.max(d( f,g )) ed, essendo d( f,g ) il valore assoluto di una differenza, d(f,g) è non negativo.

Proprietà 2

D( f,g ) = 0 f=g- dimostriamo d( f,g ) = 0 f=gd( f,g ) = 0 max( | f – g | ) = 0

Per la definizione di massimo x | f(x) – g(x) | <= max(| f – g |) [a,b] | f(x) – g(x) | <= 0 x [a,b]

Per definizione, il valore assoluto è non negativox | f(x) – g(x) | = 0 [a,b]x f(x) – g(x) = 0 [a,b]x f(x) = g(x) [a,b]

 dimostriamo f= g d( f,g ) = 0x f(x) = g(x) [a,b]f(x) – g (x) = 0 x | f(x) – g(x)| = 0 [a,b]d ( f,g ) = 0  

Proprietà 3

D( f,g ) = d( g,f ) f,g C([a,b])  f(x) – g(x) = - (g(x) – f(x)) | f(x) – g(x) | = | g(x) – f(x) | x [a,b]

Le due funzioni sono uguali, quindi hanno lo stesso massimo. max(| g(x) – f(x) |) = max(| f(x) – g(x) |)

Proprietà 4

D( f,g ) <= d( f,h ) + d( h,g )

Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

 (ai (bi  2 2ai*bi <= ) * ) a1, ….. , an, b1, ………., bn R

 Primo caso: tutti i termini a sono uguali a zero. La diseguaglianza diventa  (0 (bi2 20*bi <= ) * )0 <= 0 che è sempre vera perché il secondo membro è non negativo.

 Secondo caso  i,j 1 <= i,j <= n : ai <> 0 e bj <> 0

,  presi due qualunque R   2 2 20 <= ( - ) = + - 2 2 22 <= +  2 2<= ½ + ½

Applicando questa diseguaglianza con  2 2= a1 / ((ai )) = b1 / ((bi )) otteniamo 2 2a1*b1 a1 b1 _____________ <= _______ + ________ (ai2 2 2 2)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

Reiterando l’operazione 2 2a2*b2 a2 b2 _____________ <= _______ + ________ (ai2 2 2 2)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

... 2 2an*bn an bn _____________ <= _______ + ________ (ai2 2 2 2)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

Sommando membro a membro queste diseguaglianze ( (ai (bi2 2ai*bi) ) ) _____________ <= ________ + ________ (ai2 2 2 2)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

(ai*bi) ______________ <= ½ + ½ = 1 (ai 2 2)*(bi )

(ai*bi) (ai 2 2<= )*(bi )

Spazio euclideo ad n dimensioni

Si definisce spazio metrico euclideo ad n dimensioni, la coppia n( R , d ) ((x1-y1) ( 2 2 2d( x,y ) = + ………. + (xn – yn) ) = (xi – yi) 1 <= i <= n n

Verifichiamo che d, così definita, è una metrica per R .  n

Proprietà 1

D( x,y ) => 0 x,y R d( x,y ), per come è definita, è la radice quadrata della sommatoria di termini positivi. Per cui è un numero reale non negativo

Proprietà 2

D( x,y ) = 0 x = y d( x,y ) = 0 x = y( ( 2xi – yi) = 0( 2xi – yi ) = 02( xi – yi ) = 0 1 <= i <= nxi = yi 1 <= i <= nx = y

 x = y d( x,y ) = 0xi = yi 1 <= i <= nxi – yi = 0 1 <= i <= n...(( xi – yi ) = 0d( x,y ) = 0   2

Proprietà 3

D( x,y ) = d( y,x ) x,y R( 2d( x,y ) = xi – yi )  2 2ma xi – yi = -( yi – xi ) ( xi – yi ) = ( yi – xi )( 2d( x,y ) = yi – xi ) = d( y,x )   n

Proprietà 4

D( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y ) x,y,z R( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) 1 <= i <= n2 2 2 2( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) = (xi – zi) + (zi – xi) + 2(xi – zi)(zi – yi)

( (xi (2 2 2xi – yi ) = – zi) + zi – yi ) + 2*(xi – zi)(zi – yi)

Applichiamo la diseguaglianza di Cauchy – Schwarz (xi (xi (zi2 2– zi)(zi – yi) <= – zi) – yi)

(xi (xi (zi (zi2 2 2 2 2– yi) <= – zi) + – yi) + 2(xi – zi) – yi)

Il secondo membro è il quadrato di un binomio (xi (xi2 2 2 2– yi) <= ( – zi) +(xi – yi) )

Essendo i due membri non negativi, possiamo estrarne le radici. (xi (xi (zi2 2 2– yi) <= – zi) + – yi)d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y )

Cerchio e circonferenza

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo  S’ S x0 S’ r >0 r R

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) < r } si definisce cerchio aperto di centro x0, e raggio r. L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) <= r } si definisce cerchio chiuso di centro x0 e raggio r. Ovviamente I( x0,r ) C( x0,r ).

Valgono le seguenti x0 I( x0,r ) perché x0S, ed inoltre d( x0,x0 ) = 0 che è minore di r.

   x0 C( x0,r ) perché x0 I( x0,r ) C( x0,r )

( L’insieme x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) = r } si definisce circonferenza di centro x0 e raggio r. Questo insieme è detto anche intorno circolare di x0.

( x0,r ) C( x0,r )

Insieme limitato

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo X un sotto - insieme di S. X si dice R limitato se esistono x0 S e r positivo, tali che X I( x0,r ).

Diametro di un insieme X

Preso X non vuoto un sottoinsieme di S. Prendiamo ora in esame l’insieme delledistanze tra tutti gli elementi di S { d( x,y ), x,y R }. L’estremo superiore di questo insieme si definisce diametro dell’insieme X.

•  X è limitato il diametro di X è un numero finito.
•  Preso Y sottoinsieme di X, con X un insieme limitato, allora Y è limitato.
•  Presi X1 e X2 tali che X1 S  X1 è limitato X1 X2 è limitato X2 S
•  Dati X1, X2, entrambi sottoinsiemi di S limitati, la loro unione risulta un insieme a sua volta limitato.

Punti interni, esterni e di frontiera

 Dato ( S,d ) uno spazio metrico, supponiamo X S, x0 X.

•  X0 si dice interno ad X se esiste un cerchio di centro x0 tutto contenuto in X   x0 interno ad X e R : I( x0,e ) X. L’insieme dei punti interni ad X si denota con intX. Inoltre vale la seguente intX X.
•  X0 si dice esterno ad X se è interno al complementare di X in S.  e  x0 esterno ad X R : I( x0,e ) S\X. L’insieme dei punti esterni ad X in S si denota con EstX. Inoltre valgono le seguenti:
•  IntX = Est( S\X)
•  EstX = Int( S\X )
•  X0 si dice di frontiera per X se non è né interno né esterno ad X  e    x0 di frontiera R x’ I( x0,e ) X  x’’ I( x0,e ) ( S\X) X. L’insieme dei punti di frontiera di X si chiama frontiera di X, e si denota con X ( = S\X)

Punti di accumulazione

 Sia x0 S e X S, diremo che x0 è un punto di accumulazione per X see    R x’ I( x0,e ) ( X &n