Analisi agli elementi finiti

Capitolo 1

Elemento trave

3 gradi per nodo

2 nodi per elemento

6 gradi per elemento

[K] = 6 × 6 matrice di rigidezza

dove: u_i = EA u_i.L COMPONENTI ASSIALI

Trave incastrata: componenti flessionali

v = _VL³/^3EJ + _ML²/^2EJ

θ = - _VL²/^2EJ + _ML/^EJ

Considera VL₁ → _VL²/^2EJ → _-VL/ _2EJ + _FL²/EJ → _VL/2 = FL₁

Considera [_vu] _VL³/^3EJ + [_VL]V' = _32EJ/ ^L³

La matrice di rigidezza dei si ottiene e scritta nel sistema di riferimento globale, per adottare le inesi nel sistema globale è necessario eseguire il prodotto matriciale

Mat. rig. glob.

[_K ] = [_L][_K]^lMAT. RIG. LOCALE

dove Lè la matrice di rotazione scritta in funzione di x

Capitolo 1 continuato

Elemento trave: 3 gradi per nodo, 2 nodi per elemento, 6 gradi per elemento

[K] = 6x6 MATRICE DI RIGIDEZZA

Trave incastrata: componenti flessionali

v = VL³ / 3EJ - ML² / 2EJ

v = VL² / 2EJ + ML / EJ

dove V_i è la matrice di rotazione scritta in funzione di x

L = [ cosθ senθ 0 ] [ -senθ cosθ 0 ] [ 0 0 1 ] MATRICE DI ROTAZIONE

Formulazione delle matrici

{F}^l = [K]^l {l}^l

{F} = [L]^o [K]^l [L]{l}{l}^r = [L] {l}^l

{F}^r = [L]{F}^l

Indice "e" e "v"

Indice "e": forze e spostamenti dei nodi soggetti a carichi esterni

Indice "v": forze e spostamenti dei nodi solo di vincolo interno

{F}^l = [F_v F_e]^l

{l}^r = [l_v l_e]^r

{F}^v = [ K_vv^r K_ve^r ] {l_v l_e}^r

Una volta trovati tutti gli spostamenti: {F}^l = [K]^l {l}^l {l}^l {F}^l = [L] {F}^l NEL SISTEMA LOCALE

Capitolo 2

Analisi F.E.

Per effettuare l'analisi F.E., la struttura viene suddivisa in nodi e tutte le quantità cinematiche e dinamiche sono definite e misurate nei punti nodali.

Metodi di discretizzazione

• Approccio Lagrangiano: tipico in analisi strutturali
• Approccio Euleriano: tipico in analisi CFD

A volte un modello 3D può essere schematizzato come un modello 2D

Modello solido 2D

Stato piano di tensione

Stato piano di deformazione

Assial-simmetria

{F}=[K]{x} a partire da una analoga relazione per ogni singolo elemento

{F}^e = [K]^e {f}^e

La soluzione consiste nel calcolare gli spostamenti nodali e da questi calcolare poi deformazione e tensione.

Formulazione generale-procedimento

1. Identificare e descrivere l'elemento
2. Scegliere funzione per approssimare il campo di spostamenti interni all'elemento
3. Legare il campo di spostamenti interni
4. Legare il campo di deformazione agli spostamenti nodali
5. Legare la tensione alle deformazioni
6. Legare i carichi nodali agli spostamenti nodali: MATRICE DI RIGIDEZZA
7. Assemblaggio matrice di rigidezza della struttura
8. Manipolare e risolvere
9. Post-processing: calcolo di deformazioni e tensioni elementari per elemento

Identificare e descrivere elemento

Scegliere il tipo di elemento e posizionare la mesh. Gli spostamenti dei nodi conosciuti determinano nodali e le forze esterne ai nodi sono delle forze nodali. Per ogni generico elemento impone e definisce il vettore ed ogni spostamento {fj} il cui numero di righe sarà uguale al numero di ... . Nel modello risolto si devono scrivere i vettori degli spostamenti {fj} e delle forze {Fi}.

Funzione per approssimare campo di spostamenti

Si scelgono quasi sempre funzioni polinomiali che danno soluzioni molto accurate

{d(KXK)} = [p{KXk}]{di}

La funzione scelta deve soddisfare i requisiti di completezza e compatibilità.

Completezza

Deve poter esprimere modi rigidi senza introdurre deformazioni di interno dell'elemento.

Deve poter rappresentare stati di deformazione esistenti nel dominio.

Compatibilità

Deve garantire continuità del campo degli spostamenti fra elementi.