Analisi 2, spiegazioni e teoremi

Funzioni in più variabili (nomenclatura)

Lunedì 15 ottobre 2018 16:20

Il primo tipo di funzioni affrontate in questo corso sono funzioni reali di più variabili a valori scalari:

Funzioni a valori vettoriali

Una seconda classe importante di funzioni è quella delle funzioni a valori vettoriali o campi vettoriali:

Dominio naturale

Il dominio naturale di una funzione è il più grande sottoinsieme di Rⁿ per cui ha senso scrivere f(x).

Intorno sferico

Dati x_eRⁿ e ε R si dice intorno (sferico) di x di raggio ε (o palla di centro x e raggio ε) l’insieme:

L’insieme S_eR : d(x,y)0 tale che EsB_p(e), ovvero se esiste p>0 tale che llxll0, contenuto in E.x_eRⁿ si dice punto esterno ad E se E è un punto interno al suo complemento E.x_eRⁿ si dice punto di frontiera per E se non è né interno né esterno ad E. Si dice interno di E l’insieme E°. Si dice chiusura di E l’insieme ^=e.

Classificazione degli insiemi

Ora un insieme E⊆Rⁿ si dice:

• Aperto, se E = E°, ovvero se ogni elemento di E è punto interno ad E.
• Chiuso, se A^=A.
• Un insieme A_eRⁿ si dice compatto se ammette un intorno di E.

• Un'intersezione finita di aperti è aperta, mentre un’unione di chiusi è chiusa.

Ultrametica

L’ampiezza Rⁿ U {∞} con un sistema di Rⁿ con n > ⁿ2¹ per mancanza di ordinamento. È comunque possibile introdurre il concetto di limite per |x| → ∞. Si introduce Rⁿ U {∞ (o)} come ampiezza di Rⁿ.

Disuguaglianze notevoli

Cauchy-Schwarz: 2xy2 ≤ x²y² + |xy1|² x,y ∈ R per in generale a(x,y) ≤ |x|²jxy1||y| tl^|xy| ∀ x,y ∈ R

Verifica

Funzioni in più variabili (nomenclatura)

Lunedì 15 ottobre 2018 16:20

Il primo tipo di funzioni affrontate in questo corso sono funzioni reali di più variabili a valori scalari:

f : X ⊆ Rⁿ → R n ≥ 1

Funzioni a valori vettoriali

Una seconda classe importante di funzioni è quella delle funzioni a valori vettoriali o campi vettoriali:

f : X ⊆ R^m → Rⁿ con m ≥ 1 e n ≥ 1, f(x) = [f₁(x), ..., f_n(x)]^t per x ∈ X

Nel seguito, se non si specifica, sono funzioni a valori scalari, da X in R.

Dominio naturale

Il dominio naturale di una funzione è il più grande sottoinsieme di Rⁿ per cui elementi ha senso scrivere f(x).

Intorno sferico

Detti x ∈ Rⁿ e ε ∈ R⁺ si dice intorno (sferico) di x di raggio ε (o palla di centro x e raggio ε) l'insieme:

B_ε(x) = {y ∈ Rⁿ | d(x,y) n | ||x − y|| L'insieme S_ε(x) = {y ∈ Rⁿ | d(x,y) = ε} è detto sfera di centro x e raggio ε.

Definizioni sui punti

Si dice punto di accumulazione per E un generico punto x ∈ Rⁿ, se per ogni intorno B_ε(x) esiste y ∈ B_ε(x) - {x}. x ∈ E si dice punto isolato di E se non è di accumulazione per E.

Insieme limitato

Un insieme E ⊆ Rⁿ si dice limitato se esiste p ∈ Rⁿ tale che E ⊆ B_p(o), ovvero se esiste p ∈ o tale che ||x|| Rⁿ continua a valere il teorema Balzano-Weierstrass:

Se E è un sottoinsieme limitato e infinito di Rⁿ, allora esiste un punto di accumulazione per E in Rⁿ.

Ulteriori classificazioni dei punti

Dalla definizione di insieme limitato in Rⁿ derivano ulteriori classificazioni dei punti rispetto all'insieme E:

• x ∈ Rⁿ si dice punto interno ad E se esiste un suo intorno B_ε(x), ε > 0, contenuto in E.
• x ∈ Rⁿ si dice punto esterno ad E se E è un punto interno ad E^c.
• x ∈ Rⁿ è punto di frontiera per E se non è né interno né esterno ad E.

L'insieme di tutti i punti interni ad E si dice intorno E^o ad E. Si dice intorno chiuso di E l'insieme E^o = {x ∈ Rⁿ : x è punto di frontiera per E^c}.

Chiusura di E

Si dice chiusura di E l'insieme...