Analisi 2, Prof. Lucio Demeio, Teoremi e dimostrazioni

Argomenti

• Problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili
• Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (1^ord)
• Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (2^ord)
• Dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni di un'eq. lin. 2^ord
• Determinante wronskiano e indipendenza
• Funzione trasformabile essendo integrabile in [0,A]
• Trasformazione di una derivata
• Limite per componenti
• Derivata di un vettore a modulo costante
• Formule di Frenet-Serret
• Operazioni insiemistiche su insiemi aperti o chiusi
• Insiemi chiusi e limiti di successioni
• Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue
• Teorema di Weierstrass
• Teorema degli zeri
• Differenziabilità e gradiente
• Condizione sufficiente di differenziabilità (f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ)
• Formula del gradiente
• Teorema del valore medio
• Teorema di Schwarz
• Teorema di Fermat
• Massimi, minimi relativi e punti di sella
• Condizione sufficiente di differenziabilità (f : A ⊂ ℝⁿ → ℝ^m)
• Differenziabilità di una funzione composta
• Funzioni inverse (f : A ⊂ ℝⁿ → ℝⁿ)

• Problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili
• Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (1^o ord.)
• Struttura dell'integrale gen. dell'eq. lin. non omogenea (2^o ord.)
• Dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni di un'eq. lin. 2^o ord.
• Determinante wronskiano e indipendenza
• Funzione trasformabile essendo integrabile in [0,a]
• Trasformazione di una derivata
• Limite per componenti
• Derivata di un vettore a modulo costante
• Formule di Frenet-Serret
• Operazioni insiemistiche su insiemi aperti o chiusi
• Insiemi chiusi e limiti di successioni
• Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni continue
• Teorema di Weierstrass
• Teorema degli zeri
• Differenziabilità e gradiente
• Condizione sufficiente di differenziabilità (f:a⊆ℝⁿ→ℝ)
• Formula del gradiente
• Teorema del valore medio
• Teorema di Schwarz
• Teorema di Fermat
• Massimi, minimi relativi e punti di sella
• Condizione sufficiente di differenziabilità (f:a⊆ℝⁿ→ℝ)
• Differenziabilità di una funzione composta
• Funzioni inverse (f:a⊆ℝⁿ→ℝⁿ)

• 26) Funzione continua ➔ integrabile
• 27) Teorema di riduzione (per un rettangolo)
• 28) Proprietà di annullamento e teorema della media
• 29) Teorema di riduzione (per domini semplici)
• 30) Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi
• 31) Formula di cambiamento di variabili negli integrali tripli
• 32) Derivazione sotto il segno di integrale
• 33) Identità differenziali
• 34) Lavoro di un campo conservativo lungo una curva regolare attratti
• 35) Campi conservativi
• 36) Campo irrazionale in Ω semp. connesso ➔ conservativo
• 37) Esistenza di potenziale vettore in un campo a div. nulla
• 38) Campi a div. nulla uguali al rotore di potenziali vettore
• 39) Formula di Gauss-Green
• 40) Teorema della divergenza (o di Gauss)
• 41) Teorema del rotore (o di Stokes)
• 42) Funzione derivabile in senso complesso
• 43) Integrale complesso
• 44) Teorema integrale di Cauchy
• 45) Formula integrale di Cauchy
• 46) Funzione olomorfa derivabile infinite volte
• 47) Teorema fondamentale del calcolo integrale
• 48) Funzione olomorfa in un insieme aperto e connesso
• 49) Serie di potenze con i numeri complessi
• 50) Serie di Taylor di una funzione olomorfa
• 51) Sviluppo in serie di Laurent
• 52) Teorema dei residui
• 53) Lemma di Jordan

Problema di Cauchy per un'equazione a variabili separabili

y' = a(t) b(y) Y(t₀) = y₀

a funzione continua n un intorno I di t₀, e b è una funzione continua n un intorno J di y₀, allora esiste un intorno di t₀ I⊆I e una funzione y∈C¹(I¹) soluzione del problema.

Se b∈C¹(J) è una funzione continua, allora tale soluzione è unica.

Struttura dell'integrale generale dell'equazione lineare non omogenea del primo ordine

L'integrale generale dell'equazione completa si ottiene aggiungendo, all'integrale generale dell'omogenea una soluzione particolare della completa.

Dimostrazione

Sia y(t) una qualunque soluzione e ȳ(t) una soluzione particolare:

ȳ' + a(t)ȳ = f(t) y' + a(t)y = f(t)

Sottraendo membro a membro: (y - ȳ)'+ a(t)(y - ȳ) = 0

La funzione z/y - ȳ y/t è soluzione di z'(t) + a(t)z(t) = 0

Quindi Y(t) = z(t) + Ȳ(t)

Struttura dell'integrale generale dell'equazione lineare non omogenea del secondo ordine

a) L'insieme delle soluzioni dell'equazi