Successioni di funzioni
Def. convergenza puntuale
Diciamo che {Fn} converge nel punto x0 se la successione numerica {Fn(x0)} è convergente.
Def. convergenza uniforme
Se Fn -> F in I e inoltre ∀ε>0 ∃ v=v(ε): |Fn(x)-F(x)| < ε ∀n>v ∀x∈I allora diremo che {Fn} converge uniformemente ad F in I e scriveremo Fn => F in I.
Teorema 1
Sia Fn -> F in I.
- I) ∃v∈N : supx∈I |Fn(x)-F(x)|≤R ∀n>v.
- Ii) limn->∞ supx∈I |Fn(x)-F(x)| = 0.
Tesi: {Fn => F in I (ossia converge uniformemente).
Dimostr.
Devo provare che ∀ε>0 ∃ν=ν(ε) : |Fn(x)-F(x)|<ε ∀n>ν ∀x∈I.
Fissato ε>0 nella tesi:
Per la i) |Fn(x)-F(x)|≤ supx∈I |Fn(x)-F(x)| ∀n>ν ∀x∈I.
Per la ii) ∃ν1∈N : |supx∈I Fn(x)-F(x)-0|<ε ∀n>ν1.
Da (i) |Fn(x)-F(x)|≤ supx∈I |Fn(x)-F(x)| < ε.
Quindi |Fn(x)-F(x)|<ε ∀n>max(ν,ν1) ∀x∈I.
Pongo ν = max(ν,ν1) si ha la tesi.
Successioni di funzioni
Def. convergenza puntuale
Diciamo che {Fn} converge nel punto x0 se la successione numerica {Fn(x0)} è convergente.
Def. convergenza uniforme
Se Fn -> F in I e inoltre ∀E>0 ∃ v = v(E): |Fn(x) - F(x)| < E ∀n > v ∀x∈I allora diremo che {Fn} converge uniformemente ad F in I, e scriviamo Fn ⇒ F in I.
Teorema 1
Sia Fn -> F in I.
- I) ∃v∈N: supx∈I |Fn(x) - F(x)| ∈R ∀n>v.
- Ii) Lim supn->∞ |Fn(x) - F(x)| = 0.
Sia {Fn} ⇒ F in I (ossia converge uniformemente).
Dimostr.
Devo provare che ∀E>0 ∃ v = v(E): |Fn(x) - F(x)| < E ∀n>v ∀x∈I.
Fissato E>0 nella tesi:
Per la i) |Fn(x) - F(x)| ≤ supx∈I |Fn(x) - F(x)| ∀n>v ∀x∈I.
Per la ii) ∃ v1∈N: |supx∈I Fn(x) - F(x) - 0| < E ∀n>v1.
Da i) e ii): |Fn(x) - F(x)| ≤ supx∈I |Fn(x) - F(x)| < E.
Quindi |Fn(x) - F(x)| < E ∀n > max(v, v1) ∀x∈I.
Pongo v = max(v, v1) si ha la tesi.
Teorema di continuità
- A ⊆ R A ≠ ∅ x0 ∈ A.
- Fn : A → R.
- Fn continue in x0.
- Fn → F in A.
- F è continuo in x0.
Dimostr.
Bisogna provare che ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Iδ(x0) ∩ A ⇒ |F(x) - F(x0)| < ε.
Fissato ε > 0 nella tesi:
|F(x) - F(x0)| = |[F(x) - Fn(x)] + [Fn(x) - Fn(x0)] + [Fn(x0) - F(x0)]| ≤ |F(x) - Fn(x)| + |Fn(x) - Fn(x0)| + |Fn(x0) - F(x0)|.
Poiché Fn → F in A converge uniformemente.
∃ v = v(ε) ∈ N : ∀n > v |Fn(x) - F(x)| < ε/3 ∀x ∈ A.
Pongo n = v + 1.
|F(x) - F(x0)| ≤ |F(x) - Fv+1(x)| + |Fv+1(x) - Fv+1(x0)| + |Fv+1(x0) - F(x0)|.
≤ ε/3 + |Fv+1(x) - Fv+1(x0)| + ε/3.
Per la continuità della funzione Fv+1(x) in x0. Fn è continua in x0 ∀n ∈ N.
∃δ = δ(ε) : ∀x ∈ Iδ(x0) ∩ A ⇒ |Fv+1(x) - Fv+1(x0)| < ε/3.
Se prendo x ∈ A ∩ Iδ(x0) ⇒ |F(x) - F(x0)| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.
Ho la tesi scegliendo δ = δ.
Successione di funzioni
Teorema del passaggio a limite sotto il segno di integrali
- I) Fm: [a,b] -> R continua in [a,b] ∀n∈N.
- II) Fm -> F in [a,b].
- II) Lim n->+o.
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