Analisi 2: Equazioni differenziali

Equazioni differenziali

Con il termine equazione differenziale (ED) indichiamo un'equazione in cui l'incognita è una funzione. "Differenziale" perché nell'equazione è presente almeno una derivata dell'incognita. Ordine = il massimo grado di derivazione che compare. Integrale generale è la famiglia di tutte e sole le soluzioni.

Esempio

1. Ricerca della primitiva: data F: [a,b] → R continua, determinare tutte le Ψ: [a,b] → R derivabili, e tale che Ψ'(t) = F(t)\ \forall \ t \in [a,b]. L'integrale generale è Ψ(t) = ∫_a^t F(s) ds + c

Osservazioni

Infinite soluzioni.

Se oltre all'equazione differenziale assegno anche una condizione iniziale, Ψ(a) = Ψ₀ ∈ R con Ψ₀ fissato. In questo modo ne seleziono una particolare: Ψ₀ = Ψ(a) = ∫_a^a F(s) ds + c = c

Modello di Malthus 1798

Si consideri una popolazione che si evolve isolata i cui unici fattori di evoluzione sono la fertilità e mortalità.

Ψ(t) = numero individui al tempo t

m = tasso di mortalità

h = tasso di natalità

All'istante t nascono hΨ(t) individui e ne muoiono mΨ(t).

Equazioni differenziali

Con il termine equazione differenziale (ED) indichiamo un'equazione in cui l'incognita è una funzione "differenziale" perché nell'equazione è presente almeno una derivata dell'incognita. Ordine = il massimo grado di derivazione che compare. Integrale generale è la famiglia di tutte e sole soluzioni.

Esempio

1. Ricerca della primitiva: data \( F: [a,b] \to \mathbb{R} \) continua, determinare tutte le \( \psi: [a,b] \to \mathbb{R} \) derivabili e tali che \( \psi'(t) = F(t) \; \forall \; t \in [a,b] \). L'integrale generale è \( \psi(t) = \int_{a}^{t} F(s) \; ds + c \)

Osservazioni

Infinite soluzioni.

Se oltre all'equazione differenziale assegno anche una condizione iniziale, \( \psi(a) = \psi_{0} \in \mathbb{R} \) con \(\psi_{0}\) fissato. In questo modo ne seleziono una particolare: \( \psi_{0} = \psi(a) = \int_{a}^{a} F(s) \, ds + c = c \)

2. Modello di Malthus 1798. Si consideri una popolazione che si evolve isolata, i cui unici fattori di evoluzione sono la fertilità e mortalità. \( \psi(t) = \) numero individui al tempo \( t \). \( m = \) tasso di mortalità. \( h = \) tasso di natalità. All'istante \( t \) nascono \( h \psi(t) \) individui e ne muoiono \( m \psi(t) \).

Legge di Malthus

Legge di Malthus: u'(t) = nu(t) - mu(t)

ψ'(t) = ku(t) k = n - mu(t) = c e^kt ψ'(t) = k e^kt = ku(t)

Osservo che ψ(t) = c e^kt al variare di c ∈ R

Mostro che ogni possibile soluzione è del tipo ψ(t) = c e^kt per qualsiasi c ∈ R

Sia z(t) una qualsiasi soluzione.

Chiamo w(t) = z(t) e^-kt ⟹ z'(t) - kz(t) = 0

w'(t) = c ⟹ z(t) = ce^kt

Conclusione ⟶ l'integrale generale dell'E.D.

ψ(t) = ψ(t) e ψ(t) = c e^kt al variare di c ∈ R

Equazioni del 1^o ordine

E ⊆ R² sottoinsieme e F : E ⟶ R

ψ'(t) = F(t, u(t)) in forma normale

Definizione

Diciamo che una funzione u: I ⟶ R con I ⊆ R intervallo è soluzione dell'equazione differenziale u'(t) = F(t, u(t)) se:

1. u è derivabile in I
2. (t, u(t)) ∈ E ∀ t ∈ I
3. ∀ t ∈ I vale u'(t) = F(t, u(t))

Notazione abbreviata: w = F(t, u)

Problema di Cauchy

Equazione con una condizione iniziale.

Definizione

Dato (t₀, u₀) ∈ E, si considera il problema di Cauchy (P.d.C.)

ψ'(t) = F(t, ψ(t))

ψ(t₀) = u₀

Diciamo che _Vt : I ➔ R con I ⊆ R intervallo ⊆ soluzione dei PdC sopra se:

1. V verificazione dell'equazione differenziale

V'(t) = f(t, V_t(t))

2. t_o ∈ I V_t(t_o) = V_o

Teorema dell'esistenza e unicità locale

Se A ⊆ E: R ➔ R con A aperto, e sia (t_o, V_o) ∈ A.

Assumiamo:

• f continua in A
• ∂f ∃ ed è continua in A

Allora ∃ intervallo aperto I ⊆ I_o ed ∃! (unica) V_t : I ➔ R soluzione del problema di Cauchy.

V'(t) = f(t, V_t(t))

V_t(t_o) = V_o

→ Soluzione locale

Osservazione

Se f ∈ C((1 ): ➔ le due ipotesi del Teorema valgono le soluzioni ∈ C((1 ). Infatti, se V_t(t) = E(LV_t(t)) ma E(t, LV_t(t)) ∈ C((1 ) ➔ V ∈ C((1 )

La seconda ipotesi può essere indebolita: il modello vale da un punto di vista si suppone che f sia localmente (nell'istichanza) limitata e uniformemente Lipschitz libero rispetto a V_t, cioè ∀K c A compatto, ∃ k > 0:

|f(t, V_t1) - f(t, V_t2)| ≤ k |V_t1 - V_t2|

Condizione di Lipschitz

Teorema dell'esistenza e unicità globale

Se I ⊆ R intervallo e f : I x R ➔ R

1. f continua in I x R
2. ∀ V = [a, b] ⊆ I ∃ L > o: |f(t, V_t1) - f(t, V_t2)| ≤ L |V_t1 - V_t2|

∀ e ∈ J ∀ u, u₁, u₂ ∈ R

Allora ∃ (t₀, y₀) ∈ I×ℝ ∀ problema di Cauchy

y(t) = f(t,y(t))

y(t₀) = y₀

Ammette un'unica soluzione ∀: I → ℝ

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Sia data un’equazione differenziale lineare di ordine uno le D:

y'(t) + a(t)·y(t) = f(t)

con a, f: I → ℝ con I ⊂ ℝ intervallo funzioni continue (1)

Se f(t)=0 le D si dice omogenea, altrimenti si dice completa.

Teorema + integrale generale

Sia data una qualsiasi primitiva fissata di a(t) e sia data F(t) qualsiasi primitiva fissata di E(-t) = (allora +(1)y_t(t) = c·E(t) + F(t)) ∀ sol vereci di ℝ

Osservazioni

L'integrale generale non dipende dalla scelta di a(t) o E(t).

Infatti tutte e solo le primitive di a(t) sono a/th p con p ∈ℝ

Fissato D∈ℝ tutte e solo le primitive di E(t) __ a(t)p sono e F(t)=E(t) + p con a ∈ ℝ

Quindi e^{P(t) = c+e-p E(t)} e^{-p q} ≡......(c + c^-p E(t)) + e^{-p q} ≡

= e^-a(t) e^P(c+e^-p E(t)) + e^{-p q} ≡

= e^-a(t) Ce^P + F(t) + q ≡

= e^P[d + F(t)] con d = __ p con __ q costante.

La formula dell'integrale generale si può ricavare usando l'integrale indefinito:

μ(t) = e^-λt ∫ f(t) e^λt dt + Costante Arbitraria

Dimostrazione

Teorema

Siano f, g: I → R con I ⊆ R intervallo continuo, e sia t₀ ∈ I. Allora ∀ y₀ ∈ R il Problema di Cauchy

μ'(t) + a(t) μ(t) = f(t)

μ(t₀) = y₀

ammette un'unica soluzione μ: I → R di classe C¹(I) data dalla formula

μ(t) = e^-A(t) [y₀ + FoI(t)] dove

A(t) = ∫_t0^t a(s) ds

FoI(t) = ∫_t0^t f(s)e^A(s) ds

Dimostrazione e osservazione

Valgono le ipotesi del teorema di esistenza e unicità globale (∀ t)

F(t, y) = -a(t)y + f(t) è continuo su I × R indice K = {2 L_J + 1} ∈ I × (y ∈ J) ∀ y₁, y₂ ∈ R abbiamo

|F(t, y₁) - F(t, y₂)| = |-a(t) y₁ + f(t) + a(t) y₂ - f(t)|

= |a(t) (y₁ - y₂)| ≤ L_J |y₁ - y₂|

Potenza di Weierstrass con L_J = max |a(t)| t ∈ J

Equazioni differenziali del secondo ordine

a(t) y''(t) + b(t) y'(t) + c(t) y(t) = f(t)

con a,b,c,f funzioni continue in I

a ≠ 0

Definizione

Si dice soluzione dell'equazione differenziale nell'intervallo I ⊆ R, una funzione y: I → R derivabile due volte per cui sostituendo nell'equazione differenziale i valori effettivi di y(t), y'(t) e y''(t) si ottiene che

a(t)y''(t) + b(t)y'(t) + c(t)y(t) = f(t) ∀ t ∈ I.

Le soluzioni sono infinite → integrale generale.

Teorema - Principio di sovrapposizione

Se y₁ è soluzione di ay'' + by' + cy = f₁ e y₂ è soluzione di ay'' + by' + cy = f₂ allora la funzione y(t) = G₁y₁(t) + G₂y₂(t) è soluzione di ay'' + by' + cy = G₁f₁ + G₂f₂

Teorema di struttura - Equazioni omogenee

(Integrale generale di ay'' + by' + cy = 0 Omogenea) con a,b,c funzioni continue in I, a ≠ 0 e dato da tutte le combinazioni lineari y(t) = G₁y₁(t) + G₂y₂(t) ∀ G₁,G₂ ∈ R

→ Dimostrazioni

Equazioni complete

Equazioni complete f(x) ≠ 0

y₀ soluzione di L[y]=0 → equazione omogenea

yₚ soluzione di L[y]=f → equazione completa

y(t)=y₀(t)+yₚ(t) sono soluzioni di L[y]=f

Teorema di struttura - Equazioni complete

(Integrale generale di a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = f(t) con a,b,c,f continue in R e a(t) ≠ 0 in I, è dato da tutte e sole le funzioni

y(t) = G₁u₁(t) + G₂u₂(t) + yₚ ∀ G₁,G₂ ∈ R

dove y₁ e y₂ sono due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea associata.

Equazioni omogenee a coefficienti costanti

Equazioni omogenee a coefficienti costanti ay''+by'+cy=0 _con a,b,c ∈ ^ℝ a ≠ 0

Esempio

y''+4y'+3y=0

Sostituisco λ²e^λt+4λe^λt+3e^λt=0

e^λt(λ²+4λ+3)=0

λ²+4λ+3=0

λ₁ = -1 => y₁ = e^-t

λ₂ = -3 => y₂ = e^-3t

Non sono proporzionali tra di loro quindi sono linearmente indipendenti.

Caso generale

μ(t) = e^λt soluzione

2λ² e^λt + b λ e^λt + c e^λt = 0

e^λt (2λ²+bλ+c) =0

e^λt ≠0 ∀ t ∈ ^ℝ

ρ(λ) = 2λ²+bλ+c

ρ(λ) = 0

Equazione caratteristica.

Se Δ>0 → 2 _radici reali e distinte λ₁ e λ₂ linearmente indipendenti.

Se Δ<0 → 2 _{soluzioni complesse coniugate} λ₁ = α + iβ λ₂ = α - iβ

α = ^-b/_2a

β = ^√(4ac-b²)/_2a

Le soluzioni sono u₁(t) = e^αt cos (βt) u₂(t) = e^αt sin (βt)

ΔΞ0 → 2 radici reali complesse problema di Cauchy associato alle equazioni differenziali omogenee

Il metodo di convergenza

Esercizio forzante esponenziale

Osservazione: se termine noto f(t) è soluzione dell'equazione omogenea il metodo non funziona allora modificare la forma di y_p(t) defostandosi il meno possibile.

y_p(t) = Ct e^λt -> moltiplico per E la forma inte [illeggibile] dei polinomi associati

y_p(t) = C t e^λt -> moltiplico per t due radici doppie di P(λ)

b. Forzante polinomiale

Se y_p(t) è un polinomio di grado n y_e(t) ≠ p₁(t)

y_p(t) = n+1

y_p(t) = n+2

y_p(t) = Bn tⁿ + An t^n-1 + ... + Bt + B₂ -> si ottiene sistema lineare di n+2 incognite

Osservazione

Nel caso manchi il termine di grado zero nell'equazione omogenea il metodo non funziona! Bisogna moltiplicare per t il polinomio scelto facendolo diventare di grado n+1, se manca anche il primo grado bisogna moltiplicare invece per t².

y_p(t) = {At + B) se a b ≠ 0

y_p(t) = t² (At + B) se a ≠ 0

c. Forzante trigonometrica

a y'' + b y' + c y = A cos (vt) + B sin(vt)

y_p(t) = C₁ cos (vt) + C₂ sin(vt)

Osservazione

Se il termine noto include la funzione omogenea associata il metodo non funziona. Come nel caso esponenziale devo moltiplicare per t.

Ciò si verifica solo se...

b = 0

w² = c / a

w = v

w² ≠ w_n - Frequenze multiple: forzare con multiplo di quella naturale

y_n" + w_n²y = 0

y_f" + w_f²y = α cos (vt) + β sin(vt)

Il metodo di variazione delle costanti

Se f(t) non rientra nei casi semplici (polinomio esponenziale e trigonometria)

ay" + by' + cy = f(t)

ay" + by' + cy = 0

y₁(t) = c₁(t) y₁(t) + c₂y₂(t)

Metodo y(t) = c₁(t) y₁(t) + c₂y₂(t)

c₁y₁' + c₂y₂' = 0

a(c₁y₁ + c₂y₂) = f

w(t) = a(y₁y₂ - y₁y₂) ≠0

Risolvo con metodo di Kramer.

c₁(t) = [ 0 y₂ ] / w = [ f y₂ ] / w

c₂(t) = [ y₁ 0 ] / w = [ y₁ f ] / w

y_p(t) = - y₁ (t) ^{∫_t0 t f(s)y₂(s) / w(s)} ds + y₂(t) ^{∫_t0 f(s)y₁(s) / w(s)} ds = calcolare le primitive

t0 e t scelto

Equazioni differenziali a variabili separabili

Definizione

Si dicono equazioni differenziali a variabili separabili le equazioni differenziali della forma:

y'₁(t) = a(t) b(y₁(t)) con a e b funzioni continue

Teorema

Si consideri il Problema di Cauchy con a continua da I intervallo aperto tale che t₀ ∈ I, b derivabile con derivata continua da un intervallo aperto J tale due y₀ ∈ J.

Allora esiste I₁ ⊂ I intervallo aperto tale due t₀ ∈ I₁ ed un'unica soluzione di classe C₁ in IΔ

Dimostrazione

Osservazione

L'insieme I₁ può essere strettamente contenuto in I (Questo non accade nelle ED lineari)

Osservazione

Va e, se:

• La funzione costante y(t) = y₀ ∀t ∈ I e b[y₀] = 0 Soluzione banale
• Altrimenti, se b[y₀] ≠ 0, è data dalla formula ∫_y0^y 1/b(r) dr = ∫_t0^t a(s) ds

Formula per la soluzione in forma implicita.

Infatti, se b(μ(t)) = 0

μ(t) = t₀ ∀ t ∈ I risolve il problema di Cauchy

Se b(μ(t)) ≠ 0, ∃ intervallo aperto J ⊂ I tale che ∀ t ∈ J b(μ(t)) ≠ 0 ∀ t ∈ J (teorema permanenza del segno)

Essendo γ : I → R continua e tale che γ(t₀) = γ₀ è possibile mostrare che ∃ intervallo aperto I" ⊂ I tale che:

1. t₀ ∈ I"
2. γ(t) ∈ Γ ∀ t ∈ I"

In definitiva, ∀ t ∈ I" ho b(μ(t)) ≠ 0 ⇒ γ(t) = a(t) b(μ(t)) passo divisione per b(μ(t))

∫_t₀^t γ(s) b(μ(s)) = ∫_t₀^t a(s) ds

Arrivo a

∫_μ(t₀)^μ(t) γ(s) dγ = (dr/5(r))

∫_t₀^t (2) = ∫_μ(t₀)^μ(t) a(s) ds

Equazioni differenziali di Bernoulli

ψ(t) + a(t) ψ(t) + b(t) [ψ(t)]^γ = 0

con f ∈ R f ≠ 0,2 a o 0. I = R continue

ψ(t) + a(t) ψ(t) + b(t) [ψ(t)]^γ = 0

ψ(t₀) = ψ₀ ≠ 0

γ diviso per [ψ(t)]^γ