Analisi 2 appunti

Programma

• Teoria dell'approssimazione; successioni e serie di funzioni, con particolare riguardo a serie di potenze e serie trigonometriche
• Funzioni di variabile complessa: trasformata di Laplace e sue applicazioni. Transformata di Fourier

Successioni numeriche (Richiami)

A valori reali: N = {0, 1, 2, ...}, naturali. Una successione di numeri reali è un'applicazione m ∈ N → a_m ∈ R. Si denota con (a_m)_{m ∈ N}. Per esteso a₀, a₁, a₂, ... a_m ...

Una successione a valori complessi è un'applicazione m ∈ N → a_m ∈ C.

Esempi di successioni a valori complessi

• Es¹: (1/m)_{m ∈ N, m ≥ 1}, a_m = 1/m. Per esteso 1, 1/2, 1/3, ... 1/m ...
• Es²: (2^m)_{m ∈ N}, a_m = 2^m. Per esteso 1, 2, 2², 2³, ... 2^m ...
• Es³: ((-1)^m)_{m ∈ N}, a_m = (-1)^m. Per esteso 1, -1, 1, -1, ... (-1)^m...
• Es⁴: ((√m)^m)_{m ∈ N, m ≥ 1}, a_m = √m. Per esteso 1, √2, √3, ..., √m, ...
• Es⁵: (1 + i^m)_{m ∈ N}, a_m = 1 + i^m
• Es⁶: (cos m + i sin m)_{m ∈ N}, a_m = cos m + i sin m e^im, formule di Eulero.

Definizioni

1. (a_m)_{m ∈ N} si dice limitato superiormente se ∃ b ∈ R: a_m ≤ b ∀ m ∈ N
2. Limitato inferiormente se ∃ i ∈ R: a_m ≥ i ∀ m ∈ N
3. Limitato se è limitato sia inferiormente che superiormente, ossia se ∃ i, b ∈ R: a_m ≤ b ∀ m ∈ N

NB: se a_m è complessa, la definizione (3), a_m ≤ b NON ha alcun senso!

• Es¹) è limitata (a = 0, b = 1)
• Es²) è limitata inferiormente (a = 0, non lim. sup.)
• Es³/Es⁴) sono limitate - (lim. inf. e sup.)

Programma

1. Teoria dell'approssimazione; successioni e serie di funzioni, con particolare riguardo a serie di potenze e serie trigonometriche.
2. Funzioni di variabile complessa: trasformata di Laplace e sue applicazioni. Trasformata di Fourier.

Successioni numeriche (Richiami)

A valori reali: _N = {0, 1, 2, ...} naturali. Una successione di numeri reali è un'applicazione ^m ∈ ℕ → _am ∈ ℝ. Si denota con {a_m}_m∈ℕ. Per esteso a₀, a₁, a₂, ... a_m...

Una successione a valori complessi è un'applicazione m ∈ ℕ → ^a_m ∈ ℂ.

Esempi di successioni a valori complessi

• Es¹: {¹/_m}_m≥1, a_m = ¹/_m. Per esteso 1, ¹/₂, ¹/₃,...,¹/_m,...
• Es²: {^2m}_m∈ℕ, a_m = 2^m. Per esteso 1, 2, 2², 2³, ..., 2^m,...
• Es³: {(-1)^m}_m∈ℕ, a_m = (-1)^m. Per esteso 1, -1, 1, ..., (-1)^m, ...
• Es⁴: {(n^m)}_m≥1, a_m = ^m√n. Per esteso 1, n^1/2, n^1/3, ..., n^1/m,...
• Es⁵: {(1+i)^m}_m∈ℕ, a_m = (1+i)^m
• Es⁶: {(cos m + i sen m)^m}_m∈ℕ, a_m = cos m + i sen m; e^{i m}, formule di Eulero.

Definizioni

1. {a_m}_m∈ℕ si dice limitata superiormente se ∃ b ∈ ℝ: a_m ≤ b ∐ m ∈ ℕ.
2. {a_m}_m∈ℕ limitata inferiormente se ∃ a ڰ ℕ: a ≤ a_m ∐ m ∈ ℕ.
3. {a_m}_m∈ℕ Limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente, ossia se ∃ a, b ڰ ℕ: a ≤ a_m ≤ b; ∀ m ∈ ℕ.
4. Es¹) è limitata (a = 0, b = 1)