Analisi 2

Name: Analisi 2
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Author: Woody.2000

Revisionato il 08/09/2026

di Woody.2000

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Appunti scritti a mano di Analisi 2. Sono presenti disegni e appunti personali basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Chinnì dell’università …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Chinnì Antonia

Università Università degli Studi di Messina

A.A. 2022-2023

111 pagine

Appunto

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Estratto del documento

A.A. 2019/2020 Analisi Matematica 2

Stampato integrale della teoria

Sofia Gregorio

A.A. 2019/2020 Analisi Matematica 2

Stampato integrale della teoria

Sofia Gregorio

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Definizioni generali

X ⊆ R^N, x₀ &in; R^N

Punto interno a X

x₀ è punto interno a X se ∃ r>0: I(x₀,r) ⊆ X

Punto esterno a X

x₀ è punto esterno a X se ∃ r>0: I(x₀,r) ⊆ R^N \ X

Punto di frontiera per X

x₀ è punto di frontiera per X se ∀ r>0 I(x₀,r) ∩ X ≠ ∅ ∧ I(x₀,r) ∩ (R^N \ X)

Punto di accumulazione per X

x₀ è punto di accumulazione per X se ∀ r>0 I*(x₀,r) ∩ X ≠ ∅

Punto isolato per X

x₀ è punto isolato per X se ∃ r>0: I(x₀,r) ∩ X = {x₀}

Intersezione

Punto interno di X

X ⊆ R^N

X° = {x &in; R^N : x p.to interno a X}

Punto di frontiera

∂X = {x &in; R^N : x p.to di frontiera per X}

Derivato di X

DX = {x &in; R^N : x p.to di accumulazione per X}

Chiusura di X

X̄ = X ∪ DX

L'insieme X è sempre X° ⊆ X ⊆ X̄

Insieme aperto

A ⊆ R^N si dice aperto se ogni p.to di A è p.to interno ad A

Vale sempre (A° ⊆ A) = A = A°

Insieme chiuso

C ⊆ R^N si dice chiuso se R^N \ C è aperto

Proprietá

Rⁿ, ∅ sono aperti
L'unione arbitraria di insiemi aperti è un insieme aperto
L'intersezione finita di insiemi aperti è un insieme aperto

Un insieme non è necessariamente aperto o chiuso

∀ X ⊆ Rⁿ

X̊ ⊆ X ⊆ X̅

X̊ è un insieme aperto ed è il più grande insieme aperto contenuto in X

X̅ è un insieme chiuso ed è il più piccolo insieme chiuso che contiene X

Sottoinsieme connesso

X ⊆ Rⁿ si dice connesso se gli unici sottoinsiemi di X che risultano contemporaneamente aperti e chiusi sono X e ∅

Riconoscere se un insieme è connesso non è semplice ma l'insieme è aperto possono utilizzare la seguente proprietà:

Proposizione

A ⊆ Rⁿ aperto

A è connesso ⟷ A è connesso per archi cioè se ∀ x, y ∈ A ∃ un "cammino" continuo congiungente x e y cont. in A

Limitatezza

X ⊂ Rⁿ si dice limitato se ∃ x₀ ∈ Rⁿ, r > 0

X ⊆ I (x₀, r)

Sì

Successioni in Rⁿ

{ x_k }_{k ∈ N} con x_k = (x_k¹, x_k², ..., x_kⁿ) ∈ Rⁿ ∀ k ∈ N

Quando n = 2

{ (1/k , k) }_{k ∈ N}

Se la successione in Rⁿ ammette limite, il suo limite è un p.to in Rⁿ. In Rⁿ le succ. sono convergenti

Diciamo che { x_k }_{k ∈ N} ha limite x̄ = (x̄¹, x̄², ..., x̄ⁿ) ∈ Rⁿ

Se ∀ ε > 0 ∃ k̄ ∈ N: ∀ k > k̄ d(x_k, x̄) < ε

Ulteriore spiegazione

lim_{k -> +∞} x_k = x̄

Se cmq fissiamo un intorno di x̄ I(x₀, ε) che da un certo indice k̄ in poi (k ≥ k̄) . x_k ∈ I(x₀, ε) (d(x_k, x₀) < ε)

Proprietà

lim_{k -> +∞} { x_k }_{k ∈ N} = x̄ ↔ ∀ i ∈ { 1, 2, ..., N }

lim_{k -> +∞} x_kⁱ = x̄ⁱ (x_k¹, x_k², ..., x_kⁿ)

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