Analisi 1, primo esonero, prof. Natalini

Analisi 1

Luigi Pampaloni, Giorgio Russo, Ruggero Vaccari

1 lezione: Da definire, probabilmente 1 ora e mezzo. Esercizi fino a quel punto (fino a studio di funzioni, integrali esclusi) (le cose spiegate alla prima settimana difficilmente saranno chieste all'esame).

N: insieme di numeri naturali:

Bisogna studiare degli assiomi, ossia proprietà che non possono essere dimostrate:

Supponiamo di prendere 2 elementi a, b. ∀a, b ∈ N. a = b significa che a e b sono lo stesso elemento.

• Proprietà riflessiva: un qualsiasi elemento di N è uguale a se stesso, ∀a ∈ N, a = a.
• Proprietà simmetrica: ∀a, b ∈ N, a = b ⇒ b = a.
• Proprietà transitiva: ∀a, b, c ∈ N, a = b, b = c ⇒ a = c.

1^o Assioma: ∀a, b ∈ N, a + b ∈ N. N è un insieme chiuso rispetto alla somma. a · b ∈ N e al prodotto.

• Proprietà commutativa: ∀a, b ∈ N, a · b = b · a. a · b = b · a.
• Proprietà associativa: ∀a, b, c ∈ N, (a · b) · c = a · (b · c). (a · b) · c = a · (b · c).
• Proprietà distributiva: ∀a, b, c ∈ N, (a + b) · c = ac + bc.
• Caratterizza il numero 1: 1 ∈ N, ∀a ∈ N, a · 1 = a. Esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto.

Questi assiomi consentono tutta l'algebra dei numeri naturali.

Esercizio: dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto al prodotto in N.

Si verifica per assurdo ⇒ ∃ε ∈ N, ∀a ∈ N, ε · a = a. 1 · ε = ε   0,  1 · ε = 1 ⇒ ε = 1.

Cerco un elemento neutro rispetto alla somma, allora lo costruisco.

0^o: ∀a ∈ N, a + 0 = a. N₀ = N ∪ {0}, N ⊆ N₀ ⇒ tutti gli assiomi in N valgono anche per N₀.

6^o Assioma: ∀a ∈ N₀, a + 0 = a.

Dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto alla somma in N₀.

∃0 ∈ N₀, ∀a ∈ N, a + 0 = a. 0 + ε = ε  0,  0 + ε = 0   ⇒ ε = 0.

0 ∈ N (dato che 0 ∈ N₀ è unico se non ci fosse già situerebbe in N).

Analisi 1

prof. Pierpaolo Natalini

4 appelli (giugno, luglio, settembre).

L'esercizio n9 diendere prodozionalmente 1 ora e mezzo esserti fino a quel punto (fino a studio di funzioni, integrali esclusi). [Le cose spiegate alla prima settimana difficilmente saranno chieste all'esame.]

N: insieme di numeri naturali:

Bisogna studiare degli assiomi, ossia proprietà che non possono essere dimostrate. Supponiamo di produrre 2 elementi, a, b. ∀a, b ∈ N. a = b significa che a e b sono lo stesso elemento.

• Proprietà riflessiva: un qualsiasi elemento di N è uguale a se stesso, ∀a ∈ N, a = a.
• Proprietà simmetrica: ∀a, b ∈ N, a = b ⇒ b = a.
• Proprietà transitiva: ∀a, b, c ∈ N, a = b, b = c ⇒ a = c.
• 1° Assioma: ∀a, b ∈ N, a + b ∈ N (N è un insieme chiuso rispetto alla somma).
• 2° Proprietà commutativa: ∀a, b ∈ N, a + b = b + a (ab = ba).
• 3° Proprietà associativa: ∀a, b, c ∈ N, (a + b) + c = a + (b + c). (ab)c = a(bc).
• 4° Proprietà distributiva: ∀a, b, c ∈ N, (a + b)c = ac + bc.
• 5° Caratterizza il numero 1: 1 ∈ N, ∀a ∈ N, a · 1 = a (esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto).

Questi assiomi consentono tutta l'algebra dei numeri naturali.

Esercizio: dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto al prodotto in N.

Si verifica per assurdo ⇒ ∃ε ∈ N, ∀a ∈ N, ε · a = a. 1 · ε = ε, 1 · ε = 1 ⇒ ε = 1.

Cerco un elemento neutro rispetto alla somma, allora lo costruisco.

0+ ∀a ∈ N, a + 0 = a. N = N ∪ {0}. N ∪ {0}. N = N₀ ⇒ tutti gli assiomi in N valgano anche per N₀.

6° Assioma: ∀a ∈ N₀, a + 0 = a.

Dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto alla somma in N₀.

∃0 ∈ N₀, ∀a ∈ N₀, a + 0 = a. 0 + ε = ε, 0 + ε = 0 ⇒ ε = 0. 0 ∈ N (dato che 0 ∈ N, 0 è unico, se non ci fosse ci sarebbe in N).

Esercizio: ∀a∈ℕ₀ a∙0=0 dimostrare         a∙0= a∙1-1= a∙(1+0