Analisi 1: Funzioni Trigonometriche

Trigonometria

Circonferenza goniometrica

Circonferenza goniometrica: circonferenza centrata nell’origine e con raggio pari a 1.

Il radiante è il rapporto tra la lunghezza dell’arco individuato dall’angolo e il raggio della circonferenza.

Angoli notevoli

Funzioni

Per i criteri di similitudine dei triangoli si può osservare che:

inco

Estendendo queste funzioni a tutto R si ottiene:

in( ) in( )co co

Proprietà

co in 1

Si ricava immediatamente dal Teorema di Pitagora.

( )co coin( ) in

Deriva dal fatto che il coseno è una funzione pari e il seno è una funzione dispari.

Formule di addizione e sottrazione

( )co co co in in

Dalla figura emergono subito i seguenti punti nel piano cartesiano:

(co )in(co )in[co ( ) in( )]( 1)̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

E dall’uguaglianza dei segmenti e , poiché corde di archi che sottendono angoli uguali, si può scrivere la seguente uguaglianza:

(co ) ( ) [co ( ) 1] ( )co in in in

E sviluppando l’uguaglianza si arriva a: ( )co co in in co

Ovvero si ottiene la formula iniziale dividendo tutti i membri per 2.

( )co co co in in

( )co co co in in ( )

Si ottiene facilmente a partire dalla precedente e sostituendo con

in( ) in co co in

Inizialmente bisogna ricordare che: in co ( )

Quindi possiamo scrivere:

in( ) ( )][ [( ]co co )in

In rosso è evidenziata una formula che abbiamo appena dimostrato e precisamente:

[( ]co ) co ( ) co in ( ) in

Quindi con l’uguaglianza tra angoli:

in( ) in co co in

in( ) in co co in ( )

Si ottiene facilmente a partire dalla precedente e sostituendo con

Formule di duplicazione

co co in

in in co

Formule facilmente ottenibili dalle precedenti formule di addizione e sottrazione.

Formule di bisezione

Sapendo che possiamo scrivere il co come:

co co ( )

E risolvendo con la formula di addizione si ottiene che:

co co in

O più semplicemente usando l’identità trigonometrica:

co 1 in

co co 1

Dalle quali si possono ricavare le formule:

1 co√|co | 1 co√| |en

Grafico di funzioni

Dai grafici è facile comprendere come le due funzioni siano periodiche e precisamente:

inco

Tangente e cotangente

Definiamo ora altre due funzioni trigonometriche ovvero:

intan co cocot in

Sono due funzioni di il cui grafico è il seguente:

Funzioni iniettive

Prima di poter introdurre le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche dobbiamo restringere il dominio delle funzioni in modo da re