Analisi 1 - equazioni differenziali e calcolo primitive

Studio locale, primitive ed equazioni differenziali

ℝf: ℝ → ℝ studio locale x₀, f(x₀) limiti continuità derivate f. Taylor studio globale teoremi massimi/mini metodo di funzione f^'(t) calcolo primitive f^'(t)=g(t) f^'=g(t,f) equazioni differenziali Rf: R → R studio locale x₀, l(x₀) limiti continuità, derivate f. Taylor studio globale teo. Zeri Massimi e minimi modulo di funzione f(t) f'(t) calcolo primitive f¹(t) = g(t) f' = g(t, f) equazioni differenziali calcolo aree / calcolo integrale.

Definizione di primitiva

Definizione sia f: I → ℝ I intervallo. Diciamo che F: I → ℝ è una primitiva di f su I se F è derivabile e per ogni x ∈ I vale F'(x) = f(x).

Es. f(x) = \cos x F(x) = \sin x F(x) = \sin x + c F(x) = \sin x - 100.

Oss. Se F(x) è una primitiva di f(x) su I allora G(x) = F(x) + k, k ∈ ℝ è anche una primitiva di f. Le F(x)+k sono tutte le primitive di f(x). Tutte le primitive di una f sono delle forme F(x)+k?

Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo

Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo f: [a,b] → ℝ derivabile in (a,b) continua in [a,b] f è costante su (a,b) ⇔ f'(x) = 0 ∀x∈(a,b).

Dim. (⇒) f(x) = c ⇒ f'(x) = 0 lim_x→x0 f(x) - f(x₀) x - x₀ == lim_x→x0 C - C x - x₀ = 0 f(x) ≡ 0 in x ≠ x₀.

⇐ rappresentiamo f'(x) ≡ 0 ∀ x ∈ (a, b) e dimostriamo che f è costante. ∀ x₁, x₂ ∈ [a, b] consideriamo f: [x₁, x₂] → ℝ f continua su [x₁, x₂] ovunque su (x₁, x₂).

Scriviamo le 2^e formule dell'incremento finito ∀ p ∈ (x₁,x₂) ⊂ (a,b) tale che ƒ(x₂) = ƒ(x₁) + ƒ' (p) (x₂ - x₁) = 0 ⇒ ƒ(x₂) = ƒ(x₁) dato che x₁,x₂ sono scelti arbitrariamente concludiamo che ƒ è costante in [a,b].

Esercizio su arcotangente

Esercizio ƒ(x) = arcotenx + arcoten¹/_x

• 1- Calcolare ƒ'
• 2- Tracciare il grafico di ƒ

d/dx arcotenx = 1/(1+x²) f(x) = arctan x + arctan ¹/_x.

f'(x) = ¹/_{1 + x²} + ¹/_{1 + ( ¹/x )²} ⋅ ( ^-1/_x² ) == ¹/_{1 + x²} - ¹/_{x² + 1} ⋅ ¹/_x² = 0.

dom f = (-∞, 0) ∪ (0, +∞) f'|(x) = 0 ⇒ f'|(-∞, 0) = c₁ f'|(0, +∞) ⇒ f'|(0, +∞) = c₂.

f(-1) = arctan(-1) + arctan(-1) == -\(\frac{\pi}{4}\) - \(\frac{\pi}{4}\) = -\(\frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow f|_{(-\infty,0)}(x) = -\frac{\pi}{2}\).

f'|_{(0,+\infty)}=0 \(\Rightarrow f|_{(0,+\infty)}\) cost. f(1) = arctan 1 + arctan 1 = \(\frac{\pi}{4}\) + \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow f(x)|_{(0,+\infty)} = \frac{\pi}{2}\).

Teorema sulle primitive

Teorema Se F è una primitiva di f su un intervallo I allora ogni altra primitiva di f su I è della forma F(x) + k, k ∈ ℝ.

Dim. Sia G(x) un'altra primitiva di f su I. Sia H(x) = G(x) - F(x). H è derivabile perché somma di funzioni derivabili. H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0 per il teorema sulle costanti H(x) = k su I G(x) - F(x) = k ⇒ G(x) = F(x) + k.

es. f(x) = cos x F(x) = sin x F è una primitiva tutte le primitive di f in R sin x + k con k ∈ R.

con le notazione ∫ f(x) dx in I indica il insieme di tutte le primitive di f questo simbolo è l'integrale indefinito di f ∫ a cos x dx = a sin x + k d/dx (a sin x + k) = a cos x.

Fissato P(x₀, y₀) esiste un'unica primitiva per quel punto F(x) + k, k ∈ ℝ F_k(x) il grafico di F_k(x) passa P(x₀, y₀) se F_k(x₀) = y₀ F(x₀) + k = y₀ k = y₀ - F(x₀) trovo un'unica k.

f'(x) = ¹/_x f(x) = log x x > 0 f(x) = log(-x) x < 0 (f+g)' = f' + g' ∫(f+g) = ∫f + ∫g.

Esercizio sulla retta tangente

Esercizio Scrivere l'eq. che deve soddisfare la funzione f: R→R affinché valga: la distanza tra x_o e il punto di intersezione della retta tangente al grafico di f in (x_o, f(x_o)) è costante, uguale a k.

∀ x_o, x_o - x̅ = k f(x) retta tangente y = f(x_o) + f'(x_o) (x - x_o) y̅ = 0 ci dà x̅ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) = 0.

f(x₀) + f'(x₀)x - f'(x₀)x₀ = 0 incognita f'(x₀)x = f'(x₀)x₀ - f(x₀) se f'(x₀) ≠ 0 divido per f'(x₀) x = f'(x₀)x₀ - f(x₀)/f'(x₀) x = x₀ - f(x₀)/f'(x₀).

scrivo l'eq.: x₀ - x = k che caratterizzo x₀ - x = x₀ - (x₀ - ^f(x₀)⁄_f'(x0)) x₀ - x = ^f(x₀)⁄_f'(x0) x₀ - x = k ^f(x₀)⁄_f'(x0) = k ^f(x)⁄_f'(x) = k.

f(x) = e^x f'(x) = e^{x f(x)}⁄_f'(x) = ^ex⁄_e^x = 1 = const. ^f(x) = 2 f(x) = ?? f(x) = e^x/2 f'(x) = ¹/₂ e^x/2 f(x) f'(x) ^e_x/2= 2.

Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale è un'equazione nella quale l'incognita è una funzione e nella quale è data una relazione fra le funzioni Incognite e le sue derivate.

Es. Crescita di una popolazione nel tempo n ∈ N   n istante di tempo x(n)   numero di una certa popolazione all’istante n x(m+1) = x(m) + a x(m) - b x(m).

tempo   t ∈ R   Δt intervallo di tempo che intercorre tra due rilevazioni x(t+Δt) = x(t) + a x(t) Δt - b x(t) Δt x(t+Δt) - x(t) = (a-b) x(t) Δt.

Divido per Δt lim_{Δt → 0} (x(t+Δt) - x(t)) / Δt = (a-b) x(t) Non dipende da Δt Δt = t' - t   t + Δt = t' lim_t'→t ^{x(t') - x(t)}⁄_{t' - t} = (a - b) x(t) x'(t) = (a - b) x(t) a - b = α ^f'⁄_fI = k ^f'⁄_f = ¹⁄_k f' = ¹⁄_k f x' = αx.

x'(t) = k e^αt x'(t) = k α e^αt = α k e^αt   x(t) x (1) = 10 x(1) = 10 k e^α⋅1 = 10 k = 10 e^-α x(t) = 10 e^-α e^αt = 10 e^α(t-1) x(5) = 10 e^α(5-1) = 10 e^kα.

Definizione di soluzione e ordine

Definizione Una funzione y(t) su un intervallo I è soluzione di un'equazione differenziale se è derivabile e la funzione e le sue derivate verificano l'equazione per ogni t∈I.

es. x^'' + x = 0 x^''(t) + x(t) = 0 incognite x(t) t è la variabile indip. x(t) = sin t x'^(t) = cos t x^''(t) = -sin t x^''(t) + x(t) == (-sin t) + (sin t) = 0 ∀t ∈ ℝ.

Definizione L'ordine di un'equazione differenziale è il massimo ordine delle derivate delle funzioni incognite che compare nell'equazione.

es. x^II + x = 0 eq. 2^o ordine derivata di ordine massimo è x^II es. x^I = t x eq. 1^o ordine.

Forma normale

Definizione Un'equazione differenziale di ordine n si dice in forma normale se è scritta: x⁽ⁿ⁾(t) = f(t, x(t), x^I(t),... x^(n-1)(t)) cioè le derivate n-esime è espresse attraverso una relazione tra le variabili indip., le funz. incognite e le sue derivate fino all'ordine n - 1.

es. X^I = X è in forma normale es. (X^I)² + e^X + (X^II)² = 0 non è in forma normale eq. 2^o ordine ma non si può scrivere X^II = ... es. X^II + X = 0 X^II = -X.

es. x' = x x(t) = Ke^t, K ∈ ℜ.

Def. Si dice integrale generale di un'eq. diff. su I l'insieme di tutte le soluzioni dell'eq. su I.

Domanda x(t) = Ke^t è l'integrale generale di x' = x su ℜ? Sì!

Integrale generale di x' = ax

Sia x' = ax a ∈ ℜ. Notiamo che x(t) = Ke^at è l'integrale di x' = ax su ℜ x' = ax x' - ax = 0 moltiplichiamo entrambi i membri per e^-at ≠ 0 e^-at x' - a e^-at x = 0 d/dt (e^-at x(t)) = 0 ⇕ e^-at x(t) = K, K ∈ ℝ moltiplico entrambi i membri per e^at x(t) = K e^at.

Integrale generale: perché tutte le soluzioni sono rappresentate da questa formula.

Problema ai valori iniziali

Problema ai valori iniziali o problema di Cauchy { x' = f(t, x) x(t₀) = x₀} { x'' = f(t, x, x') x(t₀) = x₀ x'(t₀) = x₁}.

es. { x' = αx x(1) = 5} → il problema ai valori iniziali ha un'unica soluz.

es. { y' = y(t + 1) y(1) = 2} t variabile indip y(t) funzione incognita y(t) è crescente in un intorno di t=1 l' eq. si riscrive y'(t) = y(t) (t+1) scrivo l' eq. per t=1 y'(1) = y(1) (1+1) == 2·2 y'(1) = 4 y(t) è derivabile y(t) è continua y'(t) = y(t) (t+1)_{continua continua} y'(t) cont. perché prodotto di funzioni continue y'(t)=4>0   ∃ I(t) tale che ∀ t ∈ I(t)   y'(t)>0 ⇒ in I(t)   y(t) è strettamente crescente.

Tipi di equazioni differenziali che risolveremo

• 1) Eq. lineare del 1° ordine e coeff. cost. omogenea y' = a y   a ∈ ℝ Integrali generali y(t)=Ke^at ∀ (t_o, y_o) esiste un'unica soluzione tale che y(t_o)=y_o
• 2) Eq. lineare del 2° ordine e coeff. costanti omogenea
• 3) Eq. lineare del 1^o ordine y'^' = a(t) y + b(t)
• 4) Eq. lineare del 2^o ordine a coeff costanti complete y'' + a y' + b y = f(t)
• 5) Eq. a variabili separabili y'^'(t) = f(t) g(y(t)) ver. ind. func. step y'^' = f(t) g(y)

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

Equazioni differenziali lineari del 2^o ordine a coeff. costanti y^'' + a y^' + b y = 0.

es. x^'' = - k x ↔ forza elastica mx^'' x^'' + b x = 0 mx^'' = - j x^' attrito x^'' + j x^' + b x = 0 x^'' + x^' + k x = - g y^'' + ay^' + by = 0.

Proposizione sulle soluzioni

Proposizione Se y₁(t) e y₂(t) sono due soluzioni dell'eq., allora anche ŷ(t) = c₁ y₁(t) + c₂ y₂(t) è soluzione c₁, c₂ ∈ R.

Dim. Per dim. che ŷ è soluzione, derivo e sostituisco nell'equazione. ŷ^' = c₁ y₁^' + c₂ y₂^' ŷ^'' = c₁ y₁^'' + c₂ y₂^''.

ŷ^'' + a ŷ^' + b ŷ == c₁y₁" + c₂y₂" + a (c₁y₁' + c₂ y₂') ++ b (c₁y₁ + c₂y₂) == c₁ (y₁" + ay₁' + by₁) + c₂ (y₂" + ay₂' + by₂) = c₁ ⋅ 0 + c₂ ⋅ 0 = 0 ⇒ ŷ è soluzione.

y₁, y₂ soluzioni c₁ y₁+c₂ y₂ soluzioni c₁, c₂ ∈ ℝ y" + ay' + by = 0 (*) y = e^αt.

Equazione caratteristica

Cercheremo delle soluzioni dell’ eq. di 2^o ordine (*) della forma y(t) = e^αt. Derivo 2 volte e sostituisco nell’eq. y'(t) = α e^αt y''(t) = α² e^αt.

Sostituisco nell’equazione y'' + ay' + by = 0 α² e^αt + a α e^αt + b e^αt = 0 e^αt [α²+ a α + b ] = 0 e^αt ≠ 0 equazione caratteristica dell’ eq.diff.

y(t)=e^αt è soluzione dell’eq. se α soddisfa l’eq. algebrica α²+ a α + b = 0.

Es. y'' + 3y' + 2y = 0 cerco una soluz. della forma y = e^αt con α da calcolare α² + 3α + 2 = 0 (α+2)(α+1) = 0 α = 1 α = 2 y₁(t) = e^-t y₂(t) = e^-2t c₁e^-t + c₂e^-2t con c₁, c₂ ∈ ℝ sono tutte soluzioni dell'eq. sono proprio tutte le soluzioni dell'eq. cioè ogni altra soluzione è di questo forma.

y'' + αy' + by = 0 eq. diff. d² + aα + b = 0 eq. caratter. risolviamo l'eq. caratteristica considero l'eq. caratter. in ℂ casi.

• 1) L'eq. caratteristica ha due radici reali distinti: α₁, α₂ ∈ ℝ es. y'' + 3y' + 2y = 0 α₁ = -1   α₂ = -2 y(t) = c₁ e^-t + c₂ e^-2t L'integrale generale è y(t) = c₁ e^α₁t + c₂ e^α₂t         in ℝ
• 2) Due radici reali coincidenti α y₁(t) = e^αt   —dobbiamo cercare un’altra soluz. y₂(t) = t e^αt L'integrale generale è y(t) = c₁ e^αt + c₂ t e^αt
• 3) Due radici complesse coniugate α₀ + i β₀       α₀ - i β₀