Analisi 1 - appunti per esame completo

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Author: G_dipalma

Revisionato il 05/09/2026

di G_dipalma

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Rielaborato degli appunti presi durante le lezioni del corso di analisi matematica del docente A. Morro per ingegneria informatica.Prima parte: serie e successioni, …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Morro Angelo

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2018-2019

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Appunto

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Estratto del documento

Calcolo approssimato di un'area

Area sotto la curva = somma delle aree dei segmenti.

È sbagliato se prende y_i che fitti come altezza (per area rettangolo), se considero il segmento che unisce il grafico ho informazioni su come si comporta il grafico (si alza o si abbassa) → diventa l'area di un trapezio.

A_i = y_i¹ (x_i+1-x_i)
i=0, 1, ... N-1

Area del trapezio: A_trapezio = ¹⁄₂ (y_i+y_i+1) (x_i+1-x_i)

⇒ A_Tot = ¹⁄₂ ∑_i=0^N-1 (y_i+y_i+1) (x_i+1-x_i) = ¹⁄₂ N ∑_i=0^N-1 (y_i+y_i+1)^b-a⁄_N precedentemente intervallo di uguale ampiezza.

Considero ∑_i=0^N-1 (y_i+y_i+1) = y₀+y₁+y₁+y₂+...+y_N-1+y_N.

Quindi è pari a y₀+y_N+2 ∑_i=1^N-1 y_i.

Quindi ottengo Δ_Tot = ¹⁄₂ ^b-a⁄_N (y₀+y_N+2 ∑_i=1^N-1 y_i).

Calcolo approssimato di un'area

Area sotto la curva = somma delle aree dei segmenti.

È sbagliato se prendere y_i che fitti come altezza (per area rettangolo).

Se considero il segmento:

A = y_i^* (x_i+1 - x_i)
i = 0, 1, ... N-1

Si comporta il grafico (si alza o si abbassa) → diventa l'area di un trapezio.

A_trapezio = ¹⁄₂ (y_i + y_i+1) (x_i+1 - x_i)

A_tot = ¹⁄₂ ∑_i=0^N-1 (y_i + y_i+1) (x_i+1 - x_i)
b-a&boxh;N

Considero ∑_i=0^N-1 (y_i + y_i+1) = y₀ + y₁ + y₂ + ... + y_N-1 + y_N.

Quindi è pari a y₀ + y_N + 2 ∑_i=1^N-1 y_i.

Quindi ottengo Δ_Tot = ¹⁄₂ ^b-a⁄_N (y₀ + y_N + 2 ∑_i=1^N-1 y_i).

Successioni

a_k = elemento
{a_k} = successione di tot elementi.

Relazione di ricorrenza: a_k = f(a_k-1) ↳ a un precedente associo un successivo.

Successione geometrica

{a_k = r a_k-1
a₀} => a_k = r^ka₀
r = ragione.

Fattore moltiplicativo, la successione geometrica vera e propria è r^k (elemento iniziale).

Per determinare Σa₀ r^k = a₀ Σ r^k:

nΣ r^k S_n = 1, r, r²,...rⁿ
k=0 ↳ S_n = rⁿ, r²,...rⁿ⁺¹

S_n - rS_n = S_n(1-r) = 1 - rⁿ⁺¹.

Quindi S_n = ^1-rⁿ⁺¹⁄_1-r perciò a₀ Σ r^k
k=0 = a₀ ^1-rⁿ⁺¹⁄_1-r.

r ≠ 1.

Se r = 1 => Basta che conti i termini: S_n = n+1.

Successione crescente

a_k < a_k+1, ∀ k ∈ ℕ.

Se i termini sono positivi posso anche dire che:
(Non decrescente: a_k ≤ a_k+1)
^a_k+1⁄_{a_k} > 1.

Successione decrescente

a_k > a_k+1, ∀ k ∈ ℕ.

Se i termini positivi:
(Non crescente: a_k ≥ a_k+1)
^a_k+1⁄_{a_k} < 1.

Monotona / Str. Monotona.

Successione limitata

∃ M : | a_k | ≤ M, ∀ k ∈ ℕ (Inferiormente o superiormente).

Per trovare il minimo dei maggioranti = estremo superiore.

Posto dal presupposto che ∀ ε : a_k > M - ε ⇒ dopo fine devo trovare k > x₁ in termini di ε (arbitrariamente piccolo).

Limiti di successioni

Limite finito ⇒ lim_k→∞ a_k = a ^{∀ ε ∃ k̅ : k > k̅ ⇒ |a_k-a| ≤ ε}

Limite infinito ⇒ lim_k→∞ a_k = ∞ ^{∀ M ∃ k̅ : k > k̅ ⇒ a_k > M}

Σ convergente.

Σ diver

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