an successione numerica positiva e la serie ¿ an convergente; cosa si può dire del carattere delle seguenti serie?

∑

Sia a una successione numerica positiva tale che la serie a converga;

n n

che si può dire del carattere delle seguenti serie? Giustificare la risposta

citando teoremi o fornendo opportuni controesempi.

a) ∑(a ∑sina c) ∑na d) ∑ e a e) ∑1 – e

2 n an

) b) n n n

n

f) ∑(-1) a g) ∑ ln(1+a ) h) ∑ ln(a ) i) ∑ (a ) j) ∑[a ]

n n 1

n n n n n

a) Si tratta di serie numerica a termini positivi. La successione a , essendo termine genera-

n

le di una serie numerica convergente, è infinitesima, ed essendo positiva, per ogni > 0

≤ ;

esiste un K (in genere dipendente da ) tale che, per ogni n≥K, risulti 0 < a as-

n

sumendo in particolare = 1 si può affermare che, almeno definitivamente, risulta

≤

( * ) 0 < a 1 .

n ≤

2

Ne segue che, almeno definitivamente, risulta 0 < ( a ) a , poichè per ogni t∈(0;1]

n n

2 ≤ t

risulta 0 < t ; la serie a) pertanto converge per il criterio del confronto.

b) Poiché, almeno definitivamente, sussiste la ( * ), la serie in questione è a termini defini-

∼ ∑a

tivamente positivi; essendo a infinitesima, risulta sin(a ) a , ed essendo la serie

n n n n

convergente per ipotesi, la serie b) converge per il criterio del confronto asintotico.

c) La serie in questione è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente.

Possono verificarsi entrambi i casi a seconda di a Infatti, ricordando le serie armoniche

n. ∑a ∑na

2

(generalizzate e non), si nota che: se a = 1/n la serie converge ma la serie

n n

n ∑a ∑na .

3

diverge positivamente, mentre se a = 1/n convergono sia che

n n

n

d) La serie in questione è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente.

Anche per tale serie possono verificarsi entrambi i casi a seconda di a . Infatti se a =

n n

∑a ∑e a

2 n

1/n la serie converge ma la serie diverge positivamente poiché il suo ter-

n n ∑a

n 2 n

mine generale e /n non è infinitesimo, mentre se a = (1/4) convergono sia che

n

n

∑e a

n perchè serie geometriche con ragione compresa fra -1 ed 1.

n an

e) Siccome, almeno definitivamente, sussiste la ( * ), la successione e è definitivamente

maggior o uguale ad 1, quindi la serie è a termini definitivamente negativi. Essendo a n

∼ ∑a

an

–

infinitesima, risulta 1 e - a ed essendo la serie convergente per ipotesi, la se-

n n

rie e) converge per il criterio del confronto asintotico.

[a ]

1 è da intendere “parte reale intera di a ”.

La scrittura