an successione numerica positiva e la serie ¿ an convergente; cosa si può dire del carattere delle seguenti serie?

Serie numeriche

Sia (a_n) una successione numerica positiva tale che la serie ∑ a_n converga.

Che cosa si può dire del carattere delle seguenti serie? Giustificare la risposta citando teoremi o fornendo opportuni controesempi.

• a) ∑ a_n²
• b) ∑ sin a_n
• c) ∑ n a_n
• d) ∑ e^{n a_n}/n
• e) ∑(1 – e^a_n)
• f) ∑(-1)ⁿa_n
• g) ∑ ln(1+a_n)
• h) ∑ ln(a_n)
• i) ∑(a_n)ⁿ
• j) ∑[a_n]

Serie a)

Si tratta di serie numerica a termini positivi. La successione a_n, essendo termine generale di una serie numerica convergente, è infinitesima, ed essendo positiva, per ogni ε > 0 esiste un K, in genere dipendente da ε, tale che, per ogni n ≥ K, risulti 0 < a_n ≤ ε.

Assumendo in particolare ε = 1 si può affermare che, almeno definitivamente, risulta

(*) 0 < a_n ≤ 1.

Ne segue che, almeno definitivamente, risulta 0 < (a_n)² ≤ a_n, poiché per ogni t ∈ (0; 1] risulta 0 < t² ≤ t; la serie a), pertanto, converge per il criterio del confronto.

Serie b)

Poiché, almeno definitivamente, sussiste la (*), la serie in questione è a termini definitivamente positivi; essendo a_n infinitesima, risulta sin(a_n) ∼ a_n, ed essendo la serie ∑ a_n convergente per ipotesi, la serie b) converge per il criterio del confronto asintotico.

Serie c)

La serie in questione è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente.

Possono verificarsi entrambi i casi a seconda di a_n. Infatti, ricordando le serie armoniche generalizzate e non, si nota che: se a_n = 1/n², la serie ∑ a_n converge ma la serie ∑ n a_n diverge positivamente, mentre se a_n = 1/n³ convergono sia ∑ a_n che ∑ n a_n.

Serie d)

La serie in questione è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente.

Anche per tale serie possono verificarsi entrambi i casi a seconda di a_n. Infatti, se a_n = 1/n, la serie ∑ a_n converge ma la serie ∑ e^{n a_n}/n diverge positivamente poiché il suo termine generale e^{n a_n}/n non è infinitesimo, mentre se a_n = (1/4)ⁿ convergono sia ∑ a_n che ∑ e^{n a_n}/n, perché serie geometriche con ragione compresa fra -1 ed 1.

Serie e)

Siccome, almeno definitivamente, sussiste la (*), la successione e^a_n è definitivamente maggior o uguale ad 1, quindi la serie è a termini definitivamente negativi.

Essendo a_n infinitesima, risulta 1 – e^a_n ∼ –a_n, ed essendo la serie ∑ a_n convergente per ipotesi, la serie e) converge per il criterio del confronto asintotico.

[a_n] ¹ è da intendere “parte reale intera di a_n”.