Spazio duale e biduale, Geometria analitica

Spazio duale e spazio biduale

Def. V 1k-sp. vett. si definisce spazio duale V* = Hom(V,1k). Gli elementi di V* vengono indicati con vi* e sono detti funzionali lineari.

Prop. Sia B = {v1,...vn} base di V. Ici sia V_i*: V → 1k definito da V_i* (vj) = δ_ij ⇒ B* = {v_1^*... v_n^*} è base di V* detta base duale di B.

Dimostrazione

Dim: v_i sono lin. indip.: data a1v1 +...+ amvm = 0 ⇒ (a1v1* +...+ amvm* )(vj) = a_j = 0 ∀ j a_j = 0.

I v_i* generano: ma ƒ ∈ V* cerco a1,...an t.c. ƒ = a1v_1^* +...+ anv_n^* ∀ j ƒ(v_j) = a^j ⇒ base scegli a_i = ƒ(v_i).

Def. Si definisce spazio biduale di V V** = Hom(V*,1k).

Corollario dim V = dim V**.

Notazione v₁,... vn base di V <φ_i> V → V** vi = vi*.

Teorema

L'applicazione Ψv: V ——> (V*)^* dove Ψv (w): V ——> 1k Ψv(w)_i = w(v_i) 1) è un isomorfismo canonico j ( ) j ∀ B base φB*ºφB = ΨL.

Dimostrazione della linearità

Dim proviamo la linearità. Ψv(a₁v₁ + a₂v₂)(g) = g(a₁v₁ + a₂v₂) = a₁g(v₁) + a₂g(v₂) = (a₁Ψv(v₁) + a₂ Ψv(v₂))(g).

Ψv(w)(λƒ+μg) = (λƒ + μg)(w) = λ ƒ(w) + μg(w) = λ Ψv,w (ƒ) + μ Ψv,w (g).

Poiché dim V = dim(V*)* mi basta provare l'iniettività: per dimostrare che è una iniezione Ψv(w) = 0 ⇒ g(w) = 0 ∀ g ∈ V* ⇒ v = 0 (se v ≠ 0 ⇒ ∃ j ∈ V* t.c. g(w) ≠ 0) ⇒ tesi.

Spazio duale

Def. V lk-sp. vett. si definisce spazio duale V* = Hom (V, lk). Gli elementi di V* vengono indicati con v_i* e sono detti funzionali lineari.

Prop. Sia B = {v₁, ..., v_n} base di V, ∀ i sia v_i* : V ⟶ lk definito da v_i* (v_j) = s_i,j ⇒ B* = {v₁*, ..., v_n*} è base di V* detta base duale di B.

Dimostrazione

Dim.: v_i sono lin. indip.: data a₁v₁ + ... + a_mv_m = 0 ⇒ (a₁v₁* + ... + a_mv_m*)(v_j) = a_j = 0.

v_i* generano V*, perché ∀ v cerco a₁... a_m t.c. f = a₁v₁* + ... + a_mv_m* ∀ i f(v_j) = a_j ⇒ base scelta ai = f(v_i).

Def. Si definisce pario biduale di V V** = Hom (V*, lk).

Corollario dim V = dim V* = dim (V**).

Notazione f₁... f_n base di V f_β : V ⟶ V* f_β : v_i ⟼ v_i*.

Teorema

L’applicazione Ψ_V : V ⟶ (V*)* dove Ψ_V(v) : V* ⟶ lk v_(u) 1) e’ un isomorfismo canonico.

Dimostrazione della linearità

Dim. proviamo la linearità Ψ_V (a₁u₁ + a₂v₂) (g) = g(a₁u₁ + a₂v₂) = a₁g(v₁) + a₂g(v₂) = (a₁Ψ_V(v₁) + a₂Ψ_V(v₂)) (g).

Ψ_V (v) (λf + μg) (w) = (f + μg) (w) = λf(w) + μg(w) = λ Ψ_V,w(f) + μ Ψ_V,w(g).

Perchè _{f( ... )} dim V = dim (V*) ⇒ mi basta provare l’iniettività per dimostrare che è una iniezione Ψ_V(w)(g) = 0 ⇒ g(w) = 0 ∀ g ∈ V* ⇒ v = 0 (se v ≠ 0 ⇒ ∃) g ∈ V* s.c. g(w) ≠ 0) ⇒ tes.

Dim. 1) Mostro che fissato B = {v₁, ..., v_n} φ_k°φ_B(i) = ψ_ki ∀ i: (li ralbo in uno stesso ed el di (v_i)λ_ki⁽²⁾(φ_B(v_i); (v_i)^° = φ_kx (v_i; v_i) = φ x (v_i; x (v_i)^° = (v_i)^°(v_i) ° d_ij.

Annullatore

Def. S &sub V, n definisce annullatore di S Ann(S)= {f ∈ V^* t.c. f|_S = o}.

Proprietà

1. V ⊂ V → Ann(S) ssv di V^*.
2. S ⊂ T → Ann(S) ⊂ di V^*.
3. U ssv di V → dim V = k → dim U = k → → ∀ f ∈ V^* Ann(f) = ψ_x(ker f).
4. ∀ U ssv di V Ann(Ann(U)) = ψ_x(u).

Dimostrazione

Dim. 1) O ∈ Ann(S), O|_S = o.

ii) nsao {f,g} ∈ Ann S f&plus;g*(S)=o &Harr; f*(S)+ρ(S)=o f ∈ Ann(S) → fuu=0 ∀ v ∈ T ⊂S ∀ ε Ann(S).

Dim. 3) Ora {u₁,...,v_k1,...,v_n} base di U vorsa a base di V. Voglio... mostrare che v_k1...v_n ∑ere Ann(U).

1. V_k1...v_n ∈ Ann(U) in quanto (v_i)*(u_i)=o ∀ i.
2. ∑ivamente V_k1...V_n sono indipendente in quanto ∈(B^x.
3. Are f ∈ Ann(S) f=a₁U₁^*...+a_cU_c*+V_k1..^* vorsei f(U_i)...U_k ∈ Ann(U)=f=a_c1V_k1¹...+Q_nV_n^*.

Dim Ann(F)= {f ∈ V^k}, h(f)=o ⇐ φ_xh | φ_xo φ_x | φ_x= Ψ{f|x{cα}=o} = Ψ(ker f).

Dim. 5) dim (Ann(Ann(U))) = m(n-k) = k → mostro in soli continuiemento sm attere la tesi φ(U) ⊂ Ann(Ann(U)) in quanto φ(x)|Ann(U)=o : ∀ f ∈ Ann(U) φ(x)(f)=f(x)=o in quanto f ∈ Ann(u).

Trasposta di un'applicazione lineare

Def. f: V → W lineare, definiamo tf: W^* → V^* tf (g)_q = g·f è una buona definizione; g: W → k g·f: V → W → k = (g·f) ∈ V^*.

Proprietà

1. tf: W^* → V^* lineare.
2. tf (f_v) = f.
3. Schema di digramma tf (g·tf) è commutative.
4. h: W → Z lineare → b(h·f) = f o h.
5. ker (tf) = Ann(Im f).
6. Im (tf) = Ann(ker f).

B base di V, S base di W U_{S,V(tfv) = t(UV,S(f))}.

Dimostrazione

1. ∀ α₁, α₂ ∈ k, ∀ g₁, g₂ ∈ W^* si ha che tf (α₁g₁ + α₂g₂) = (α₁g₁ + α₂ g₂ )·f = α₁ g₁· f + α₂ g₂·f = α₁ tf(g₁) + α₂ tf(g₂).

nt Voglio mostrare che t(f)_V) Ψ_w(ϱ) = Ψ_w Ψ_vf(ϱ) Ψ_w(ϱ)(ω) = Ψ_wf (ω)(g) t(f_v) Ψ_w(ϱ) = Ψ_w g ((f(ω))(υ) = g (f(ω))(υ) t(f_p) Ψ_ω(ϱ) = Ψ_w ((tf(ϱ).Ψ_x(ιp)) = Ψ.