Algebra lineare quoziente e potenza, Formula di de Moivre

Appunti algebra lineare

I numeri complessi

• Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica
• Potenza di un numero complesso in forma trigonometrica
• Formula di de Moivre

Gennaio 2022

Appunti algebra lineare

I numeri complessi

Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica

Potenza di un numero complesso in forma trigonometrica

Formula di de Moivre

Gennaio 2022

Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica

Il quoziente di due numeri complessi ha per modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti.

ESEMPIO 1

Dati i numeri complessi α = -10 - 10i e β = -2 + 2i, calcolare α / β dopo averli scritti nella forma trigonometrica.

Essendo ρ_α = 10√2 e θ_α = 225°, si ha

α = 10√2(cos 225° + i sen 225°)

Essendo ρ_β = 2√2 e θ_β = 135°, si ha

β = 2√2(cos 135° + i sen 135°)

Pertanto si ottiene

α / β = 10√2 / 2√2 [cos (225° - 135°) + i sen (225° - 135°)] → α / β = 5(cos 90° + i sen 90°)

ossia, in forma algebraica, 5i.

ESEMPIO 2

Calcola il prodotto (4√2 - 4i√2)(1 + i√3) dopo aver espresso i fattori in forma trigonometrica.

Trasformiamo i fattori in forma trigonometrica

4√2 - 4i√2 = 8(cos 315° + i sen 315°)   1 + i√3 = 2(cos 60° + i sen 60°)

Eseguendo la moltiplicazione otteniamo

8(cos 315° + i sen 315°) · 2(cos 60° + i sen 60°) = 8 · 2 [cos (315° + 60°) + i sen (315° + 60°)] =

= 16(cos 375° + i sen 375°) = 16[cos (360° + 15°) + i sen (360° + 15°)] = 16(cos 15° + i sen 15°)

ESEMPIO 3

Calcola il quoziente ^{-√3 + i}/_{√3 + 3i} dopo aver espresso i numeri dati in forma trigonometrica.

Trasformiamo i due numeri complessi in forma trigonometrica, ottenendo

^{-√3 + i = 2 (cos 150° + i sen 150°)}

_{√3 + 3i = 2√3 (cos 60° + i sen 60°)}

Si ha

^{2(cos 150° + i sen 150°)}/_{2√3(cos 60° + i sen 60°)} = ²/_2√3 [cos (150° – 60°) + i sen (150° – 60°)] = ^√3/₃ (cos 90° + i sen 90°)

Possiamo osservare che il quoziente ottenuto, avendo per argomento 90°, è un numero immaginario

^√3/₃i