Algebra lineare, forma esponenziale dei numeri complessi

Appunti algebra lineare

I numeri complessi

I numeri complessi possono essere espressi in forma esponenziale utilizzando la formula:

Forma esponenziale di numeri complessi

La forma esponenziale di un numero complesso è data da:

ρe^iθ

dove ρ e θ sono rispettivamente modulo e argomento del numero complesso.

Formula di Eulero

Prima formula di Eulero: \( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)

Operazioni algebriche con i numeri complessi in forma esponenziale

Valgono le note regole di calcolo delle potenze con esponente reale:

• ρ₁e^iθ₁ · ρ₂e^iθ₂ = ρ₁ · ρ₂e^{i(θ₁+θ₂)}
• (ρe^iθ)ⁿ = ρⁿe^inθ
• ρ₁e^iθ₁ : (ρ₂e^iθ₂) = ^ρ₁⁄_{ρ2e^i(θ1−θ2)}
• √ρe^iθ = √^ρ⁄_n e^{(θ⁄_n + 2kπ⁄_n)} con k = 0; 1; …; n − 1

Altre formule di Eulero

Seconda formula di Eulero: \( e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta \)

Terza formula di Eulero: \(\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\)

Quarta formula di Eulero: \(\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\)

Esempi svolti

Esempio 1

2e^iπ⁄4 = √2 + i√2

2e^iπ⁄4 viene scomposto in ρ = 2 e θ = ^π⁄₄, quindi:

2e^iπ⁄4 = 2 (cos ^π⁄₄ + i sen ^π⁄₄) = 2 ^{(√2 ⁄ 2) + i (√2 ⁄ 2)}

2e^iπ⁄4 → 2e^iπ⁄4 = ^{(√2 + i√2)}

Esempio 2

Scrivi in forma esponenziale: −√3 − i

È ρ = 2, cos θ = −^√3⁄₂ e sen θ = −¹⁄₂

Essendo cos θ < 0 e sen θ < 0, si deduce che θ è l'angolo del terzo quadrante associato all'angolo di 30°, cioè θ = π + ^π⁄₆ = ⁷⁄₆π.

Si ha quindi:

−√3 − i = 2e^i7π⁄₆