Algebra Lineare IX-XII

Geometria IX (06/10/2021)

Il concetto di campo vettoriale

Sia K un campo, definiamo l'operazione:

+: (a₁, ..., a_m) + (b₁, ..., b_m) = (a₁+b₁, ..., a_m+b_m)

(K, +) è un gruppo abeliano

·: K x K ⁿ → K ^m

λ(a₁, ..., a_m) = (λa₁, ..., λa_m)

Una simile struttura possiede le seguenti proprietà:

• 1_K(a₁, ..., a_m) = (a₁, ..., a_m)
• (λ+μ)(a₁, ..., a_m) = λ(a₁, ..., a_m) + μ(a₁, ..., a_m)
• λ((a₁, ..., a_m) + (b₁, ..., b_m)) = λ(a₁, ..., a_m) + λ(a₁, ..., a_m)
• (λμ)(a₁, ..., a_m) = λ(μ(a₁, ..., a_m))

Questo è un esempio canonico di spazio vettoriale su un campo K.

Quindi ad esempio sia K un campo e V un insieme non vuoto

K x V → V

(λ,a) → λa

I) (K, +) deve essere un gruppo abeliano

• 1_K·a = a
• (λ+μ)a= λa + μa     ∀ μ ∈ K   ∀ a ∈ V
• (λ+μ)(a) = λ·a + b   ∀ c ∈ K   ∀ b ∈ V
• λ(μa) = χ(μa)

Chiamiamo:

• Gli elementi di V → vettori
• Gli elementi di K → scalari
• · → moltiplicazione per gli scalari
• 0_v → vettore nullo

Geometria IX (06/10/2021)

Il concetto di campo vettoriale

Sia K un campo, definiamo l'operazione ++:

+: (a₁, ..., a_m) + (b₁, ..., b_m) → (a₁+b₁, ..., a_m+b_m)

(K, +) è un gruppo abeliano

・: K x Kⁿ → K^m

λ(a₁, ..., a_m) = (λa₁, ..., λa_m)

Una simile struttura possiede le seguenti proprietà:

• 1_K(a₁, ..., a_m) = (a₁, ..., a_m)
• (λ + μ)(a₁, ..., a_m) = λ(a₁, ..., a_m) + μ(a₁, ..., a_m)
• λ((a₁, ..., a_m) + (b₁, ..., b_m)) = λ(a₁, ..., a_m) + λ(b₁, ..., b_m)
• (λμ)(a₁, ..., a_m) = λμ(a₁, ..., a_m)

Questo è un esempio canonico di spazio vettoriale su un campo K.

Quindi ad esempio sia K un campo e V un insieme non vuoto

K x V → V (λ, a) → λa

• (K, +) deve essere un gruppo abeliano
• 1_K・a = a
• (λ + μ)a = λa + μa ∀λ∈K ∀a∈V
• (λ(a+b) = λa + λb ∀λ∈K ∀a∈V
• (λμ)a = λ(μa)

Chiamiamo:

• Gli elementi di V → vettori
• Gli elementi di K → scalari
• ・ → moltiplicazione per gli scalari
• O_V → vettore nullo

Geometria X (07/10/2021)

Esempi di spazi vettoriali

Ecco una serie di esempi di spazi vettoriali

• I) Kⁿ
• II) Se K⊂K₁→K₁ è un K₁-spazio vettoriale
• III) Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo di grado m a coefficienti in K è un K-spazio vettoriale. Se il sistema non è omogeneo non è uno spazio vettoriale poiché manca il vettore nullo 0ⁿ, somiglia però ad uno spazio vettoriale poiché le sue soluzioni sono del tipo S₀ + W dove S₀ sono le soluzioni dell'omogeneo associato e W è una soluzione particolare e quindi un traslato di uno spazio vettoriale detto spazio affine
• IV) K[x] è un K-spazio vettoriale m∈N K[x]₍m₎={f∈K[x], δ_f(s)≤m}
• V) Siano m,n∈N M_mn(K) è un K-spazio vettoriale poiché

t: (a_ij) + (b_ij) = (a_ij + b_ij)

λ(a_ij) = λa_ij

E ha le seguenti proprietà:

• 0_m・a = 0_v
• b・0_v = 0_v b∈K
• ma-b・0_v = b^K = 0_m ∧ a・0_v
• ∀v, a=-(-1)ₖ・a ∀v∈V

Ogni spazio vettoriale contiene sempre due sottospazi vettoriali, il suo vettore nullo e sé stesso

Esempio di spazio vettoriale

Preso E³ se A,B∈E³ indico con (A,B) il segmento orientato di origine A e B

Fissato un punto O∈E³ ind, chiamo E³{(o,p)|p∈E³}

∀P,Q∈E³ (OP)+(OQ)=(OR) dove R è ottenuto con la regola del parallelogramma

∀ λ ∈ ℝ ∀ p ∈ E³ λ (o, p) = (