Algebra lineare ed equazioni differenziali

25/02/2019 algebra lineare

Geometria analitica nello spazio.

Spazio tridimensionale - caso particolare.

Spazio a n dimensioni - algebra lineare.

Spazio cartesiano.

Vettore in R³

Vettore in R³.

Terna di numeri reali (x, y, z).

Questa scrittura può rappresentare un vettore ma anche un punto dello spazio.

Questa notazione rappresenta anche un vettore poiché posso immaginare una freccia che va da O a P.

Il vettore punto da O a P (P - O) può essere quindi indicato come differenza tra due punti.

Notazione.

v v v in gessetto.

3 modalità

Ogni vettore è indicato da 3 elementi.

• Modulo (valore assoluto).
• Direzione.
• Verso.

|v| - lunghezza del segmento FO.

Numero > 0 |v| > 0.

Numero = 0 se v = 0.

Se è sottinteso solo se lo zero si indica vettore nullo.

25/02/2019 algebra lineare

Geometria analitica nello spazio.

Spazio tridimensionale - caso particolare.

Spazio a n dimensioni - algebra lineare.

Spazio cartesiano.

Vettore in R³

Vettore in R³.

Terna di numeri reali (x, y, z).

Questa scrittura può rappresentare un vettore ma anche un punto dello spazio.

Questa nozione rappresenta anche un vettore perché posso immaginare una freccia che va da O a P.

Il vettore porta da O a P (P - O) può essere quindi indicato come differenza tra due punti.

Notazione.

v v "v in grassetto".

3 modalità

Ogni vettore è indicato da 3 elementi: modulo (valore assoluto).

(_l, v) - lunghezza del segmento OP.

Numero > 0 |v| > 0.

Numero = 0 se e solo se v = 0.

Se è sottinteso lo zero si indica vettore nullo.

Direzione.

Verso.

La direzione corrisponde alla retta che contiene il vettore e verso indica il verso di percorrenza della retta.

(I vettori P-O e O-P hanno versi opposti).

Differenza tra punti e spostamento

B - A = P - O = v.

B = A + v.

P = O + v.

Il vettore v sposta un punto da un punto iniziale a un punto finale.

Operazioni sui vettori

Si possono definire sui vettori 2 operazioni.

• Somma di vettori.
• Modulo di un vettore numero (scalare).

La somma di vettori si fa con la regola del parallelogramma.

B = A + v.

C = B + w.

C = A + v + w.

A + w + v commutativa.

La diagonale è la somma dei due.

La diagonale B - D è un vettore u.

B - D = u.

Che va da D a B tale che w + u = v.

(D - A) + (B - D) = B - A.

u = v - w.

|w| ha modulo |W|. |w|.

Direzione uguale a w.

Verso uguale e opposto a seconda.

Che lambda > 0 < 0.

Sistema di riferimento e rappresentazione

Il vettore ha una sua essenza assoluta indipendente dal sistema di riferimento. Il calcolo vettoriale nasce proprio con tale indipendenza.

F = m a.

Vettore.

Il sistema di riferimento è un fatto accessorio, il significato astratto è più profondo dello proprio rappresentazione.

(La numero 44 = 3+14 = IV4 in sistema binario).

Il vettore è una cosa, la sua rappresentazione è un altro, così come nei numeri.

Si può cambiare il sistema di rappresentazione ma il significato astratto.

Proprietà equivalenti

λu v ≅ ((λu) · v).

λ(u · v).

Equivalenti.

∀ v (per ogni).

0 + v = v.

(λ + μ) v = λ · v + μ · v.

λ (v + w) = λv + λw.

1 · v = v.

Moneta.

Prodotto scalare di due vettori

Prodotto scalare di due vettori.

v · w.

Notazione - puntino centrale (dot).

È uno scalare, ovvero un numero reale, quindi non è un vettore.

v · w = |v| · |w| cosθ.

Angolo compreso.

Proprietà commutativa - v · w = w · v (perché cosθ = - cosθ).

Si moltiplica v per la proiezione di w lungo v.

w proiez. = w cos d.

v . w = 0.

cos 90 = 0 v w.

È annullarsi del prodotto scalare è la condizione più semplice per esprimere la perpendicolarità di due vettori.

Si tratta quindi di una definizione intrinseca.

Due rette possono essere perpendicolari fra loro ma non avere prodotto scalare nullo se le rette non si incontrano.

Riferimento spazio a 3 dimensioni

Riferimento spazio a 3 dimensioni.

3 versi - vettore di lunghezza unitaria - i, j, k.

Definisce solo direzione e verso.

Sono orientati secondo le dita della mano dx.

Proprietà commutativa non importa l'ordine.

P - O = x i + y j + z k = (x y z).

x y z possono essere positivi o negativi.

Importante l'ordine.

Nella terna di numeri non si può cambiare l'ordine.

0 - O = x i + y j.

H - O = x i.

Il vettore è una scelta assoluta, non il sistema di riferimento.

Come si calcolano le 3 componenti?

I moduli scalari dei versori in q lao sono nulli perché ortogonali.

i · i = 1.

j · j = 1.

k · k = 1.