Algebra lineare e geometria

Piano euclideo (o cartesiano)

R²: dove 2 sta per 2 dimensioni.

Su questo piano posso rappresentare i punti come coppie ordinate: (x,y) ≠ (y,x) - se cambio l'ordine, cambiano i punti.

In uno spazio vettoriale, i punti sono individuati da vettori: lo stesso modulo, direzione e verso.

Somma

In R² si possono sommare i vettori.

(3,2) + (1,5) = (3+1)(2+5) = (4,7)

Il vettore somma si trova con la prodotto.

Prodotto

Posso inoltre moltiplicare un vettore per uno scalare (un numero).

5 (3,2) = (5∙3, 5∙2) = (15,10)

Il vettore prodotto si trova sulla stessa retta del vettore ma è stato allungato di molto.

Spazio vettoriale

Spazio vettoriale: è un insieme i cui elementi sono vettori (V) e che è dotato di un'operazione interna detta "somma".

È interna perché manda due elementi dell'insieme ad un altro elemento dell'insieme.

(u,v) → u+v

Possiede la proprietà commutativa u+v = v+u.

Possiede anche un'operazione "esterna" che consente di "moltiplicare" un numero per un vettore, ottenendo un vettore.

V= {u, v, w ...}

K: insieme di numeri (reali o complessi)

(u,v) ∈ V x V

u ∈ V

u+v ∈ V

λ ∈ K, u ∈ V

(λ,u) → λu ∈ V

Piano euclideo (o cartesiano)

R² = dove 2 sta per 2 dimensioni.

Su questo piano posso rappresentare i punti come coppie ordinate: (x,y) ≠ (y,x) → se cambio l'ordine, cambiano i punti.

In uno spazio vettoriale, i punti sono individuati da vettori: lo stesso modulo, direzione e verso.

Somma

In R² si possono sommare vettori: (3,2) + (1,5) = (3+1,2+5) = (4,7)

Il vettore somma si trova con la regola del parallelogramma.

Prodotto

Posso inoltre moltiplicare un vettore per uno scalare (un numero).

5 (3,2) = (5·3,5·2) = (15,10)

Il vettore prodotto si trova sulla stessa retta del vettore ma è stato allungato di molto.

Spazio vettoriale

È un insieme i cui elementi sono vettori (V) e che è dotato di un'operazione interna detta "somma".

È interna perché manda due elementi dell'insieme ad un altro elemento dell'insieme.

(u,v) → u+v

Possiede la proprietà commutativa u+v = v+u.

Possiede anche un'operazione "esterna" che consiste di moltiplicare un numero per un vettore, ottenendo un vettore.

V = {u,v,w...}

K: insieme dei numeri (reali o complessi)

λ∈K, u∈V

(λ,u)∈K×V

λu∈V

u+v∈V

λ (u+v) = λu+λv

λ (u v) = (λu)v

Esiste un unico elemento di V neutro rispetto alla somma.

∃ unico e ∈ V t.c. u+e = e+u = u ∀ u ∈ V

Esempio

(1,3)+ (0,0) = (1,3)

(0,0) + (1,3) = (1,3)

(-10,-3) + (0,0) = (-10,-3)

Il vettore (0,0) è elemento neutro della somma.

Insieme di funzioni

Considero un insieme di funzioni.

f: [a,b] → ℝ

V: {f: [a,b] → ℝ [funzione]}

Prendo f₁, f₂ ∈ V posso definire.

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Dato f ∈ [a,b] e λ ∈ ℝ

f ∈ V, λ ∈ ℝ   (λf)(x) = λf(x)

Perciò l'elemento neutro di questo spazio vettoriale.

e: [a,b] → ℝ

e(x) = 0   ∀ x ∈ [a,b]

Opposto del vettore U

u ∈ V   (-1)u

Ho la proprietà che se sommo u e il suo opposto ottengo l'elemento neutro.

u + (-u) = e

Equazione lineare

Equazione in cui x β α eleva 1.

Rappresento una linea retta.

2 + x = 0

x = -2

Con il calcolo di Fermat si possa approssimarla le funzioni a derivate.

L'algebra lineare verrà ricondurre problemi complessi a lineari attraverso strumenti vettoriali.

Esempio

2x - 3y = 0

x + 4y = -5

Vediamo quando una tecnica per risolvere sistemi anche più complicati attraverso l'algebra lineare.

Campo degli scalari

K = campo degli scalari.

È un insieme numerico in cui dobbiamo poter fare delle operazioni.

N = numeri interi positivi.

Posso fare la somma poiché:

x,y ∈ N

x+y ∈ N

Ma non ci fermiamo qui perché se considerato:

2 ∈ N

x + 2 = 0

Non lo possiamo risolvere.

Z = unione degli interi negativi, 0, e gli interi positivi.

PQ (numeri razionali)

∃ m o

2x + 6 = 0

m ∈ Z

Dato un quadrato voglio conoscere la diagonale solvendo il lato.

Nell'antichità si pensava fosse un numero razionale.

d = √2

Si accorgono che non è razionale.

Suppongo che √2 sia razionale.

√2 = ^m/_n, m primi tra loro.

m > n, m primi tra loro.

2 = ^m²/_n²

2m² = m²²/4k²

m² = 2k²

Ma m e n erano stati posti tra loro e non possono