Algebra Lineare - appunti di teoria

Appunti su funzioni lineari

Una funzione lineare è determinata in modo univoco tra due spazi vettoriali V e W quando si conoscono le immagini dei vettori di una base di W.

Quindi dati ad esempio 3 vettori di V se questi formano una base allora l'applicazione lineare esiste ed è unica.

Se invece i tre vettori sono L.I. (non formano una base) se l'applicazione lineare esistesse non sarebbe unica.

Dato un endomorfismo (dominio e codominio hanno la stessa dimensione) una funzione f è suriettiva sse è iniettiva (quindi biettiva).

In termini di matrice f è biettiva sse la matrice ≠ 0.

L'immagine di f è generata dalle colonne della matrice rispetto alle basi canoniche.

Per trovare una base dell'immagine basta prendere n colonne L.I. dove n = dim Imf = dim Rf - dim Ker.

Per chiedere che un vettore appartenga al nucleo di f si fa (matrice) vettore = 0.

Per chiedere che il vettore dell'N appartenga all'immagine di f equivale a chiedere che esso sia C.L. dei vettori che formano l'immagine di f.

f : V -> W, se dim(W) = dim(Im f) => f è suriettiva.

La dimensione dell'immagine coincide con il rango della matrice (dopo opportune operazioni elementari).

Dato un sottospazio lineare V ⊂ , esso è un sottospazio dello spazio che contiene.

Appunti su funzioni lineari

Una funzione lineare è determinata in modo univoco tra due spazi vettoriali V e W, quando si conoscono le immagini dei vettori di una base di W.

Quindi, dati ad esempio 3 vettori di V, se questi formano una base allora l'applicazione lineare esiste ed è unica.

Se invece i tre vettori sono L.I. (non formano una base), se l'applicazione lineare esistesse non sarebbe unica.

Dato un endomorfismo (dominio e codominio hanno la stessa dimensione), una funzione f è suriettiva sse è iniettiva (quindi biettiva).

In termini di matrice, f è biettiva sse la matrice ≠ 0.

L'immagine di f è generata dalle colonne della matrice rispetto alle basi canoniche.

Per trovare una base dell'immagine basta prendere n colonne L.I. dove n = dim(Imf) = dim(ker).

Per chiedere che un vettore appartenga al nucleo di f si fa (matrice) vettore = 0.

Per chiedere che i vettori di W appartengano all'immagine di f è equivalente a chiedere che essi siano C.L. dei vettori che formano l'immagine di f.

f: V → W. Se dim(W) ≤ dim(Imf) => f è suriettiva.

La dimensione dell'immagine coincide con il rango della matrice (esso appartiene operazioni elementari).

Data una varietà (lineare V + ), essa è un sottospazio V=S allo spazio che contiene.

• Dato un endomorfismo esso è invertibile s.s. il determinante della matrice associata è diverso da zero.
• Ma per essere invertibile deve essere biunivoca e quindi iniettiva e suriettiva.
• Scrivere la matrice di una f rispetto alla base B nel dominio e rispetto alla base B nel codominio significa trovare una matrice che abbia come colonne le coordinate delle C.L. dei vettori della base B per ottenere ciascun vettore delle immagine dei base A.

Applicazioni lineari

Il vettore nullo va nel vettore nullo (necessaria, ma non sufficiente).

Se W₀ = 0_V allora L^-1(W⁰) = {v∈V | L(v)∈W⁰} ⊆ V si chiama nucleo.

L^-1(W₀) = V₀ + Nul L è una varietà lineare.

Se W₀⊆Im(L) ⟹ L^-1(W₀) ≠ 0.

Un'applicazione lineare è iniettiva ⟺ Nul L = {0_V}.

L: Un'applicazione lineare iniettiva LI ⟶ LI.

Se W coincide con V (f va in se stessa), abbiamo un endomorfismo.

Un endomorfismo è iniettivo e suriettivo, quindi è invertibile.

Un'applicazione lineare biettiva si dice isomorfismo.

L: I due spazi si dicono isomorfi: fare i conti su uno o sull'altro è indifferente.

L: V ⟶ W.

Regola di corrispondenza

Al posto della regola di corrispondenza posso avere i valori di una base.

Data una base V e dei valori qualunque, esiste una sola applicazione lineare tale che ...

Applicazione lineare senza regola di corrispondenza: L(v_i) = w_i.

Con regola di corrispondenza: L(x₁, ..., x_n).

Possibilità

• [v₁, ..., v_n]_Bass, L esiste ed è unica.
• [v₁, ..., v_n]_L.D., dim V > n ⟶ Infinite applicazioni lineari.
• [v₁, ..., v_n], dim V.

Appunti su determinanti

• Operazioni elementari su righe o colonne non alterano il rango.
• Scambiando due colonne il determinante cambia segno.
• Se una matrice è triangolare, il det è uguale al prodotto degli elementi che stanno sulla diagonale.
• Con metodo classico è quello per il calcolo dei determinanti si calcolano i cofattori che compongono le righe della matrice A tale che: |λIA| = |Aⁿ| = A^λ.
• Se il determinante _≠0, i vettori che formano la matrice sono LI.
• Se il determinante è ≠0, la matrice è invertibile.
• Data AGH, se |A| = 0 Img(f).

Data una base U, trovare un sistema di eq. lineari che abbia U come soluzione

U = < (V₁),(V₂) >.

V₁ (x, y, z).

V₂ (x', y', z').

Deve avere rango = dim U.

Troverò quindi n - l equazioni in funzione di a, b, c.

Esempio

L = (1, 2, 3) + < (1, 1, 1) >.

{1, 2, 3} ≠ < 1, 1, 1 > → sistema non omogeneo.

dim 1.

Deve avere rango 1.

Sol del sistema lineare.

Sol del sistema lineare omogeneo.

Appunti su spazi vettoriali

Per determinare il sottospazio intersezione, prendo un generico vettore W: W G V sottospazio e W G W sottospazio.

Quindi lo scrivo come CL della prima e della seconda base.

Eguaglio le due equazioni e ricavo i parametri.

La dimensione del sottospazio cercato è pari al numero di incognite libere di variabile.

Data la formula di Grassmann dim (U + W) = dim (U) + dim (W) - dim (U∩W).

Conviene sempre una volta determinate le basi di U e W ricavare la base intersezione sapendo così la dim della base somma.

Per ricavare le eq di uno spazio

Scrivo un generico vettore W come (X, Y, Z, W) etc. come CL dei vettori che compongono la base.

Ricavo i parametri e li sostituisco nell'eq rimanenti, fino ad avere sia eq con X, Y, Z, W.

Se un vettore appartiene ad un sottospazio deve poter essere scritto come CL dei vettori che compongono la base.

Appunti su autovalori, autovettori, autospazi

Se una matrice è simmetrica allora è ortogonalmente diagonalizzabile → esiste una base ortonormale.

La base ortonormale è formata da autovettori che formano i suoi autospazi divisi per la relativa norma.

Data la funzione VENDORF_H → proiezione ₁ su _U scrivere la matrice rispetto alla base canonica

Consideriamo la funzione che associa ad ogni vettore W∈ℝⁿ la sua proiezione ortogonale sul sottospazio U.

Le colonne della matrice di P_U rispetto alla base canonica di ℝⁿ sono le proiezioni dei vettori e₁, e₂, ..., e_n sul sottospazio U.

Trovare la proiezione di un vettore su uno spazio

Scrivo V come somma di V₁ + V₂, dove V ∈ U e V₂ ∈ U^⊥.

V₁ è combinazione lineare dei vettori della base di U.

V₂ non è altro che V₃ = V₂ + V₃ = V₃ = V − V₁.

Scrivo un sistema ciascuna eq dove contengano l’eq di ortogonalità tra un vettore della base U e il vettore V₂.

(V₂ · U₁ = 0) (V₂ · U₂ = 0).

Ricavo i parametri e quindi V₁.

Trovare la proiezione di un punto su una retta

Dall’eq. della retta ricavo il vettore direzione, che è anche il vettore ortogonale al piano ortogonale alla retta.

Scrivo l’equazione del piano sopra detto, ma manca un parametro.

Impongo la condizione di passaggio per il punto dato e ricavo l’eq. completa del piano contenente il punto dato e ⊥ alla retta.

Interseco piano e retta e ricavo il punto proiezione ortogonale.

Ho il vettore V e voglio che il V-U|| sia minima. Allora per il Teorema della proiezione ortogonale questo vettore richiesto deve essere perpendicolare a U.

Pongo (V-U) ∈ (X, Y, Z che abbiamo detto deve essere ortogonale a U (ovvero appartenenie a U. Ma allora deve poter essere scritto come CL dei vettori che formano una base di U. Allo stesso tempo il suo prodotto scalare con ciascun vettore della base di U dev'essere zero. Faccio il sistema e lo risolvo e ho trovato (V-U). Ora si tratta di fare V - (V-U) = U.

Formulario geometria

Fasci di piani

L(a₁x + b₁y + c₁z + d₁) + μ(a₂x + b₂y + c₂z + d₂) = 0.

Se i piani sono paralleli: _{π₁₂ = λπ₂}.

Fascio improprio: (ax + by + cz - k = 0).

Se i piani sono non paralleli: fascio proprio (contiene una retta).

Distanza punto-piano

Dati P(x₀, y₀, z₀) e π: ax + by + cz + d = 0.

d(P, π) = ^{|aₓ₀ + by₀ + cz₀ + d|} / _{√(a² + b² + c²)}.

Distanza punto-punto

Dati P(x₀, y₀, z₀) e Q(x₁, y₁, z₁).

d(P, Q) = ||P Q|| = √(x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)² + (z₁ - z₀)².