Algebra lineare

Revisionato il 17/07/2026

di SSaraaaa_

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Appunti dettagliati con dimostrazioni ed esercizi su: spazio vettoriale, basi (base canonica), dimensione di uno spazio, formula di Grassmann, sottospazi, funzioni lineari, omomorfismo, …

Esame Matematica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

126 pagine

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Definizioni e proprietà degli spazi vettoriali

Notazioni e vettori

N₁ = (3,1)
N₂ = (2,5)
λN₁ + μN₂ = 0
λ(3,1) + μ(2,5) = 0

Definizione di W

w = { (a₁,b₁) | 3a - 2b + c = 0 }
V = R² = (a,b)

Verifica delle proprietà di W

1) W₁ = (a₁,b₁) ∈ W ↔ 3a₁ - 2b₁ = 0
     W₂ =(a₂,b₂) ∈ W ↔ 3a₂ - 2b₂ = 0
    W₃ =(a₃,b₃)
W₁ + W₂ =(a₁+a₂,b₁+b₂) ∈ W
    (3a₃+2b₃, 3a₃ - 2b₃ = 3(a₁ + a₂) - 2(b₁ + b₂)
       = 3a₁ + 3a₂ - 2b₁ - 2b₂
       = (3a₁ - 2b₁) + (3a₂ - 2b₂) = 0 + 0 = 0 vero

2) λ ∈ R, w = (a,b) ∈ W ↔ 3a - 2b = 0
   λw = (λa,λb) ∈ W
   3(λa) - 2(λb) = 0 &
   λ(3a-2b) = 0 → λ . 0 = 0 vero ∀ λ

→ W è un sotto spazio
Ogni spazio vettoriale deve contenere il vettore nullo!

Sottospazi ed intersezioni

U ∩ W = ∅ U e W sottospazi di V
non può mai essere perché entrambi devono contenere il vettore nullo possiamo però avere U ∪ W = {Θ}

Linearità e combinazioni lineari

N₁ = (3,1)
N₂ = (2,5) L.I.?
λN₁ + μN₂ = 0
λ(3,1) + μ(2,5) = 0
{3λ + 2μ = 0
λ + 5μ = 0 → 3μ + 15μ2μ = 0 μ = 0 L.I.
λ + 5μ = 0 λ = -5μ λ = 0
(3,1)(2,5)λ = 0

Esistenza di sottospazi

Es W = { (a,b) | 3a - 2b ≤ 0 }
V = R² ∈ (a,b)
W è sottospazio di V?

1) W_a = (a₁ + b₁) ∈ W → 3a₁ + 2b (a,b)
W_a = (a₂ + b₂) ∈ W → 3a₂ - 2b (a,b)
W_a = (a₃,b₃)
W₁ + W₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂) ∈ W
W₃: (a₃, b₃) ∈ W → 3a₃ - 2b₃ = 0
3a₃ - 2b₃ 3 (a₁ + a) 2 (b₁ + b₂) == 3a₁ + 3a₂ - 2b₁ - 2b₂
3(a₂ - 2b₁ + 3a₂ - 2b₂) = 0 + 0 == 0

2) λ ∈ R, w = (a,b) ∈ W ↔ 3λλw = (λa, λb) ∈ W
3 (λa) - 2 (λb) = 0
λ (3a - 2b) ≥ 0 λ .0 = 0 vero ∀ λ
→ W è sottospazio
Ogni spazio vettoriale deve contenere il vettore nullo

Intersezioni e unioni di sottospazi

U ∩ W = ∅
U e W sottospazi di V non può mai essere perché entrambi del sottospazi contengono il vettore nullo possiamo però avere U ∩ W = {0}
V = R³
U = una retta passante per l'origine
W = un'altra retta passante per l'origine
M : è il più piccolo sottospazio che contiene U e W.
U + W = è il PIANO che contiene le due rette U e W

Definizioni di somme e generatori

Def: U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}
Def: S: insieme di vettori di V.
Il sottospazio vettoriale generato da S è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene S. (Indico L(S)^S)
L(S) = {λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n | v_i ∈ S^V, λ_i ∈ K {∑_i=1ⁿ λ_iv_i | λ_i ∈ K, v_i ∈ S}

Def: S = {v₁, v₂, ..., v_n} vettori di V.
Sono un insieme di generatori di V se L(S) = V, cioè se ogni vettore V ∈ V si può scrivere come combinazione lineare dei vettori dati:
V = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n

Generatori di R²

V = R²
N₁ = (2,1)
N₂ = (0,3)
N₃ = (1,-1)
Sono generatori di V?

N = (a,b) ∈ R² ∀a, ∀b
a (b) = λ₁(2,1) + λ₂(0,3) + λ₃(1,-1)
(b) = λ₁ (2,1) + λ₂ (0,3) + λ₃ (1,-1)
2λ₁ + λ₃ = ...

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