Algebra e Geometria - Appunti

Teoria algebra e geometria

Relazioni

Relazione: corrispondenza tra gli elementi di due insiemi. Una relazione tra A e B è un sottoinsieme di AxB.

Relazione binaria: è una relazione tra un insieme A e se stesso.

Relazioni d’equivalenza: una relazione binaria su un insieme S si chiama relazione d’equivalenza se è:

• Riflessiva: cioè se ∀ ∈ x A si ha che xRx;
• Simmetrica: cioè se ∀ ∈ x, y A si ha che xRy e yRx;
• Transitiva: cioè se ∀ ∈ x, y, z A si ha che xRy yRz e xRz.

Classe d’equivalenza: sottoinsieme di A nel quale vengono raggruppati gli elementi che hanno caratteristiche comuni in base alla relazione d’equivalenza (possono esserci più classi d’equivalenza ma un elemento può appartenere ad una sola di esse).

A R/Insieme quoziente: data una relazione d’equivalenza, l’insieme quoziente è l’insieme delle classi di equivalenza di A.

Partizione: una partizione F di un insieme A è una famiglia di sottoinsiemi di A se (B=parte):

• Bi è contenuto ∈ A;
• Bi ≠ ∅;
• Bi ∩ Bj = ∅;
• U A = Bi.

Teorema fondamentale delle relazioni d’equivalenza

• Se Rf è una relazione d’equivalenza su A, l’insieme quoziente è una partizione di A;
• Se F è una partizione di A, allora la relazione Rf su A definita da Rf x, y, y appartengono allo stesso blocco di F = {( ) ∨ x} è una relazione A Rf/ = F d’equivalenza tale che.

Relazioni d’ordine

Relazioni d’ordine: una relazione binaria su un insieme S si chiama relazione d’ordine se è:

• Riflessiva: cioè se ∀ ∈ x A si ha che xRx;
• Asimmetrica: cioè se ∀ ∈ x, y A si ha che xRy e yRx solo se x = y;
• Transitiva: cioè se ∀ ∈ x, y, z A si ha che xRy yRz e xRz.

P( A) = {0, {a, b}, {b}, {a}}

Relazione di inclusione: dato un insieme l’insieme vuoto è contenuto in ogni insieme, il singleton {a} è contenuto in se stesso e in {a,b} ecc ecc.

Prefissi: data R la relazione di “prefisso”, ogni parola è prefisso di se stessa uRv vRu uRv, vRw e uRw (riflessiva), asimmetrica se e e transitiva se.

ab è prefisso di abcd
abba è prefisso di baba
cacb è prefisso di acba

Minimo e massimo

Minimo e massimo: per rappresentare gli elementi minimo e massimo si usano i diagrammi di Hasse, possono esserci anche elementi minimali al posto del minimo e massimali al posto del massimo:

• L’elemento ∈ m ∈ A è il minimo se per ogni a A mRa;
• L’elemento ∈ M A è il massimo se per ogni a A aRM;
• L’estremo inferiore è il massimo dei minoranti e l’estremo superiore è il minimo dei maggioranti.

Insieme dei minoranti di A: b ∈ B b ≤ a per ogni a ∈ A ; ∣{ } ∈ B =

Insieme dei maggioranti di A: b ∈ B b ≥ a per ogni a ∈ A. ∣{ } ∈ B =

Funzione

Funzione: una funzione da un insieme A a un insieme B è una legge che a ogni ∈ a A ∈ b B f : A → B elemento di si associa uno e un solo ele