Algebra 1 - teoria ed esercizi

Algebra 1 insiemi

Esempi di insiemi

Esempi di insiemi sono:

• Insieme dei numeri naturali, cui elementi sono 0,1,2,3... → ℕ
• Insieme dei numeri interi, cui elementi sono 0,1,–1,2,–2,... → ℤ
• Insieme dei numeri razionali, cui elementi sono i numeri del tipo p/q con p,q interi e q ≠ 0: → ℚ
• Insieme dei numeri reali: → ℝ
• Insieme dei numeri complessi: → ℂ

Notazione: A insieme ↔ x ∈ A ↔ x ∉ A

Vedi sotto come si denotano gli insiemi:

• 1) Insiemi specifici hanno caratteri tipografici specificati ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ϕ
• 2) Elencando gli elementi dell'insieme: {1, 2, 3} ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} ℤ = {..., 0, ±1, ±2, ±3, ...}
• 3) Usando una proprietà per descrivere quali sono gli elementi dell'insieme: Q = {x = p/q, dove p,q ∈ ℤ, q ≠ 0 ± 1} {1, 2, 3} = {x | x ∈ ℤ, 0 < x < 4}

Operazioni tra insiemi

• Unione tra insiemi: A,B insiemi → A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione tra insiemi: A,B insiemi → A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Differenza tra insiemi: A,B insiemi → A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}

Algebra 1 insiemi

• Insieme dei numeri naturali, cui elementi sono 0, 1, 2, ...
• Insieme dei numeri interi, cui elementi sono 0, 1, -1, 2, -2, ...
• Insieme dei numeri razionali, cui elementi sono i numeri del tipo p/q con p,q interi e q≠0
• Insieme dei numeri reali
• Insieme dei numeri complessi

Notazione: A insieme ⇔ x ∈ A x ∉ A

Vediamo come si descrivono gli insiemi:

• Insiemi speciali hanno certe proprietà specifiche
• Elencando gli elementi dell'insieme
• Usando una proprietà che descrive qual è un elemento dell'insieme:

Insieme degli x tale che

Operazioni tra insiemi

• Unione tra insiemi: A, B insiemi → A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione tra insiemi: A, B insiemi → A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
• Differenza tra insiemi: A, B insiemi → A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Definizione di sottoinsieme

Definizione:

Un sottoinsieme B di A è un insieme B t.c. ∀ x ∈ B si ha x ∈ A.

Quindi A, B insiemi, A ⊆ B se ∀ x ∈ A → x ∈ B.

∀B B è sottoinsieme di B.

Definizione:

A e B sono disgiunti se A ∩ B = ∅

01/10/2020

Definizione:

B ⊆ B B = il sottoinsieme improprio di B.

Tutti gli altri sottoinsiemi vengono detti sottoinsiemi propri di B.

Definizione:

A, B insieme A ⊆ B ( A è un punto ⊇ B ) se A ∩ B ⊆ A, B ⊆ A.

Due insiemi sono uguali quando contengono gli stessi elementi.

Insieme delle parti

Definizione:

A insieme l'insieme delle parti di A e l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A:

P(A) = { X | X ⊆ A }

Esempio:

A = { ∅, 1, 2 }

_AP(A) = { ∅, { ∅, 1 }, { ∅, 2 }, { 1, 2 }, { ∅, 1, 2 }, A }

P(∅) = { ∅ }

P({ 1, 2, 1 }) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }, { 2, 1 } }

P({ 1 }) = { ∅, { 1 } }

P({ ∅, { 1 } }) = { ∅, { 1 }, { ∅, 1 }, { { 1 } } }

1 elemento, 2 elementi, 3 elementi

Osservazione sulle proprietà

Osservazione:

L'unione di insiemi si associa.

Dati A, B, C insiemi A ⋃ ( B ⋃ C ) = ( A ⋃ B ) ⋃ C

Vale anche la proprietà commutativa: A ⋃ B = B ⋃ A

Poniamo quindi senza perdita operativa: A ⋃ B ⋃ C.

Se ho A₁, A₂, ...., Aₙ insiemi per fare A₁ ⋃ A₂ ⋃ ... ⋃ Aₙ.

Idem per l'intersezione: ( A ⋂ B ) ⋂ C = A ⋂ ( B ⋂ C ) = A ⋂ B ⋂ C

A ⋂ B = B ⋂ A

Anche qui posso scrivere senza perdita operativa: A₁, A₂, ...., Aₙ insiemi → A₁ ⋂ A₂ ⋂ ... ⋂ Aₙ.

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Esempio

Esempio

∀ i = 1, ⋯, n sia A_i = [i, +∞[ , x ∈ ℝ | x ≥ i

A₁ ∩ A₂ ∩ ⋯ ∩ A_n = A_n

A₁ ∪ A₂ ∪ ⋯ ∪ A_n = A₁

Proprietà distributive

Proprietà distributive

Se A, B, C sono insiemi, allora

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Dim.

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Dobbiamo verificare la doppia inclusione cioè che A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e che (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C).

“⊆” Si x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A oppure x ∈ B ∩ C

• Se x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B, e x ∈ A ∪ C ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• Se x ∈ B ∩ C ⇒ x ∈ B, e x ∈ C ⇒ x ∈ A ∪ B, e x ∈ A ∪ C ⇒ x ∈ (