Aerodinamica Subsonica

Portanza

La portanza è una componente della forza aerodinamica totale esercitata su un profilo diretta inversamente alla forza di gravità.

Questa portanza è generata da un gradiente di pressione tra il dorso e il ventre dell’ala. C’è da capire però come fa a generarsi questo gradiente di pressione. Questo lo si associa a una differenza di velocità del flusso tra il dorso e il ventre, e per il teorema di Bernoulli questo porta ad avere pressioni minori dove vi è una velocità maggiore e viceversa.

Quando si cerca però di dare una spiegazione al perché una particella sul dorso debba andare più veloce rispetto a una sul ventre si cade spesso in errore. La classica affermazione secondo la quale, essendo la distanza che percorre A maggiore rispetto a quella che percorre B, dovendosi trovare all’uscita nello stesso punto, allora la particella A si è mossa più rapidamente.

Ci sono 2 maggiori motivi per cui questa affermazione è falsa:

• Non c’è alcuna motivazione fisica per cui i due elementini debbano uscire allo stesso tempo dal profilo, infatti si è anche dimostrato che la particella A sul ventre esce anche prima di B;
• Non è vero che è dovuto a una maggiore distanza tra il ventre e il dorso poiché se si prende una lastra piana con dorso e ventre identici questa porta comunque.

Nella realtà l’origine della portanza è da cercare nel III principio di Newton, di azione e reazione. Infatti il profilo alare nel suo moto spinge le molecole d’aria, e da esse viene spinto in direzione opposta. Per far avvenire ciò il profilo deve essere investito da un flusso ad alta velocità.

Nello studio dell’interazione tra un corpo rigido e un fluido, ovvero un sistema non rigido di particelle, bisogna decidere con quale approccio studiare queste interazioni. ⃗Considerando un profilo alare che si muove in direzione orizzontale con una determinata velocità, se si considera la forza esercitata sul profilo da parte del fluido come una risultante di n forze esercitate da altrettante particelle allora si sta utilizzando l’approccio di Lattice-Boltzman.

Modello continuo

Se ho talmente tante particelle da poter considerare la forza come se variasse in continuità allora posso dire di avere un dominio continuo che posso suddividere in particelle. La definizione di particella è da distinguere con quella di molecola. Infatti quando si parla di particella in un dominio continuo si intende un sottoinsieme del dominio che ha all’interno le molecole, nel caso in cui il nostro dominio è un fluido.

Quando si studia l’interazione di un corpo solido in un dominio continuo si considerano ovviamente tutte le particelle tangenti al corpo, poiché quelle che non vi entrano in contatto non subiscono alcun effetto.

In un dominio continuo vi sono tante particelle quante sono i punti del dominio e non sono separate tra loro. Inoltre ogni particella rappresenta un sistema termodinamicamente aperto. Ciò vuol dire che esistono infinite particelle in un dominio continuo che si compenetrano.

Nello studio di una particella appartenente ad un dominio continuo bisogna studiare 2 differenti aspetti:, , , , ℎ, , .

• Termodinamico, ovvero si studiano ∑⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗
• Cinematico, ovvero si studia la calcolata come una velocità media tra tutte le particelle, e una accelerazione calcolata come: lim (⃗( + Δ, + Δ) − ⃗(, ))Δ→0⃗ = Δ⃗⃗⃗ =

Questa derivata è definita come derivata materiale. ⃗⃗(,+Δ)−⃗⃗(,))lim (Δ→0⃗ =

La derivata è definita derivata locale o Euleriana. Δ

Per calcolare la derivata materiale occorre però seguire la particella lungo tutto il suo moto.

La relazione che insiste tra la derivata materiale e quella reale è: = + ⃗ ∗ ∇() Le dimensioni scelte per la particella sono fondamentali nello studio degli effetti aerodinamici e dipendono dal problema stesso.

Per capire come le dimensioni della particella possono influenzare il risultato finale immaginiamo di essere in una stanza con un calorifero da un lato e una finestra dall’altro. Ponendo tutto ciò in un SdR con centro nel calorifero si nota che la temperatura e la densità hanno un andamento non lineare all’aumentare della distanza dal calorifero, infatti la temperatura scenderà fino a un valore prossimo a quello ambiente mentre la densità aumenterà.

Pensiamo ora di prendere una particella molto grande, di larghezza L di 1 metro. Fatto ciò si può calcolare la temperatura e la densità media nella particella, ottenendo un certo risultato. Presa ora una particella più piccola con L di 10 cm si ottengono valori medi leggermente diversi, come anche per una particella ancora più piccola. Man mano al ridursi di L ci si avvicina asintoticamente a un certo preciso valore di T e di.

Continuando a ridurre le dimensioni della particella fino a valori di pochi micron si nota però un particolare fenomeno. La particella di pochi micron conterrà al suo interno molte poche molecole, nell’ordine delle decine. Essendo la particella un sistema aperto vi è scambio molecolare tra due particelle vicine, e di conseguenza, se in una prima misurazione avevo nello stesso volume un preciso numero di molecole, e in una seconda misurazione manca anche una sola molecola, la variazione percentuale della densità è molto elevata. Si crea così una nuvola di indeterminatezza, poiché ad ogni misurazione ottengo valori di densità molto diversi. Andando a ridurre ulteriormente la dimensione della particella questa indeterminatezza non fa che aumentare.

Di conseguenza per studiare le interazioni aerodinamiche è necessario scegliere una particella sufficientemente grande da garantire stazionarietà statistica delle misurazioni, ma allo stesso modo sufficientemente grande da non risentire di variazioni macroscopiche.

La forza esercitata sul profilo può essere vista come un integrale su tutta la superficie, essendo un dominio continuo, delle tensioni esercitate in tutte le particelle tangenti, ovvero: ℱ⃗⃗ = ∫

La forza aerodinamica totale esercitata sul profilo può essere scomposta in 3 componenti:

• L lift
• D drag
• Questa scomposizione è data per definizione.

Oltre a una forza risultante si può identificare anche un momento risultante definito come: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ ∧

Che a sua volta può essere scomposto in:

• ℎ
• -
• Definiti quindi la Forza e il Momento aerodinamici si può ricordare come la tensione in un singolo punto può essere calcolato come prodotto tra il versore normale alla superficie in quel determinato punto per il Tensore delle Tensioni, ovvero: ⃗⃗ = ̂ ∗

Considerando un generico punto sul profilo si ha che: 11 12 130 (0= 1 0) ( )22 230 0 33⃗⃗

Ricordando inoltre che è definito come: ⃗⃗ = − ⃗⃗ + +( ) (,⃗ = , ) = ( + )

Ricordando che risulta quindi che definito contributo alla resistenza, mentre 21 = −⃗⃗ + 2 che è definito come contributo alla portanza. 22 , ,

Per riuscire quindi a definire la forza aerodinamica totale occorre quindi riuscire a calcolare.

Considerando che su un profilo alare si possono evidenziare 2 differenti azioni da parte del fluido, una di tensione in direzione tangenziale al bordo, e una di pressione lungo la normale in ogni punto. Prendendo come riferimento due assi normali con centro nel baricentro del profilo, si può definire l’angolo come l’angolo che la normale al profilo in un punto forma con la normale alla corda.

Definito quest’angolo si possono scrivere portanza e resistenza come: = ∮ sin + ∮ cos = ∮ cos − ∮ sin

Questo vale per un generico profilo che impatta un flusso. In aerodinamica aerospaziale tipicamente si studiano corpi ~0 ≪ , allungati, in cui vi è una direzione preponderante sulle altre. In questo caso si può considerare e e di conseguenza le equazioni diventano: ≅ ∮ + ∮ ≅ ∮ = 0

Un corpo sufficientemente allungato da far si che valga quasi è detto corpo bidimensionale. ⃗⃗ = ∇ ∧ ⃗⃗

Inoltre se vale questa caratteristica il vettore vorticità definito come sarà pari a: ̂̂ ̂ |⃗⃗ = det = −|0 0

In questo caso si parla di moto bidimensionale.

Principio 0 dell’aerodinamica

Principio di reciprocità: ‘’ La fisica di un corpo fermo immerso in un fluido in movimento è uguale alla fisica di un corpo in moto immerso in un fluido fermo.’’

Essendoci gradienti di velocità per avere una valutazione più corretta si introduce il concetto di velocità asintotica. Ovvero è la velocità che viene misurata teoricamente all’infinito una volta terminate le sollecitazioni.

Viscosità dinamica

Si considerino due particelle che si muovono l’una sopra l’altra a velocità diverse. Si noterà che la particella lenta tenderà a rallentare quella veloce, mentre quella veloce tenderà ad accelerare quella lenta. Per capire come mai accade ciò bisogna ricordare che le particelle sono sistemi aperti, di conseguenza vi è uno scambio di molecole tra le due particelle che fa si che la velocità media di entrambe tenda a omogeneizzarsi. Si creerà inoltre una velocità tangenziale lungo il bordo comune alle due particelle in direzione uguale alla particella lenta e opposta a quella veloce.

Questa velocità tangenziale sarà tanto maggiore quanto maggiore è lo scambio molecolare tra le due particelle. Ovviamente lo scambio molecolare varia al variare dell’agitazione molecolare, e di conseguenza della temperatura.

Si dimostra che: )(vel. tang. =

Il coefficiente si definisce coefficiente di viscosità dinamica.

Questo coefficiente è una proprietà di trasporto, esattamente come il coefficiente di scambio termico K, poiché si basano sul principio dello scambio molecolare.

Si può quindi introdurre il numero di Prandtl come: =

Si può dimostrare che per ogni gas questo è costante. ,

Nel caso io possa trascurare per qualche motivo o K o di conseguenza potrei trascurare anche l’altro coefficiente, ovvero se un gas non è viscoso è anche adiabatico, e viceversa. Tutto ciò vale esclusivamente per i gas, perché nei liquidi entrano in gioco altri tipi di forze che modificano la relazione tra i due coefficienti.

Per capire come varia se e come varia la densità lungo un profilo alare bisogna studiare il moto che avviene. − = .

Innanzitutto si ipotizza che il moto sia isoentropico e che il gas sia perfetto, e di conseguenza valga.

La velocità del suono è definita come 2 = ( ) Se si calcola partendo dalla legge sui gas perfetti si ottiene: 2= . = =

Mettendo in evidenza la densità: = 2

E calcolandone la variazione: Δ ≅ Δ 2

Vi è il segno di ‘’approssimativamente’’ poiché sia che p sono funzioni del tempo.

Ricordando il teorema di Bernoulli come: 1 2 + = .21 2Δ 0 Si nota che può variare solamente tra 2

Si può allora scrivere: 21 Δ 1 2Δ = → = 22 2

Dove M è definito numero di Mach pari al rapporto tra la velocità di un corpo o un flusso e la velocità del suono.

ΔLa variazione è una variazione percentuale della densità e si nota subito che è proporzionale al numero di Mach. ≅ 0.3

Se si considera una variazione di densità trascurabile al di sotto del 6/7% si ottiene che per un numero di Mach si può considerare un flusso d’aria incomprimibile.

Il poter considerare la densità costante è un grande vantaggio poiché ci permette di eliminare una incognita e di conseguenza una equazione nella soluzione del problema aerodinamico.

Principi fondamentali della meccanica dei fluidi

Per trovare le equazioni nel calcolo della forza aerodinamica occorre introdurre i principi fondamentali della MdF.

Tutti i principi si possono scrivere in 2 modi diversi, sia in forma differenziale, considerando un volume infinitesimo, che in forma integrale. Per scrivere un principio in forma integrale bisogna considerare un volume materiale, ovvero un volume che al proprio interno ha sempre le medesime particelle fluide durante tutto il moto. ≪ )

1) Principio della conservazione della massa

1) Principio della conservazione della massa (per ‘’ la massa contenuta in un qualunque volume materiale è costante’’

In formule questo principio può essere scritto come: ∫ = 0 ()

Applicando il teorema del trasporto di Raynolds: ∫ = 0 = ∫ ( + ∇⃗) = 0 () ()

Da qui non è detto che per essere nullo l’integrale debba essere nulla la funzione integranda, vedi ad esempio le funzioni sinusoidali in uno specifico intervallo. Bisogna però ricordare che il principio dice ‘’… in un qualunque volume…’’, e di conseguenza abbiamo una indipendenza dagli estremi di integrazione.

Se l’integrale è nullo indipendentemente dagli estremi di integrazione allora deve necessariamente annullarsi la funzione integranda, per il lemma di localizzazione.

Posso quindi eliminare il segno di integrale e ottenere quindi: (+ ∇⃗ = 0 . ) = + ⃗∇()

Ricordando la definizione di derivata materiale per cui con a scalare si ottiene: + ∇⃗ = + ⃗∇() + ∇⃗ = + ∇(⃗) = 0 < 0.3

Infine se sono in un moto incomprimibile con allora l’equazione diventa semplicemente: ∇⃗ = 0

2) Principio di conservazione della quantità di moto

2) Principio di conservazione della quantità di moto

‘’La variazione di quantità di moto di un qualsiasi volume materiale è pari alla risultante delle forze esterne applicate al volume’’

In formule questo principio può essere scritto come: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗()∫ ⃗ = ℛ = + . = ∫ + ∫ ⃗ () () () =

Manipolando il primo termine applicando il teorema del trasporto, non di Reynolds, secondo cui ∫() ∀, si ottiene: ∫() ⃗∫ ⃗ = ∫ () () ⃗

Per il secondo termine dell’uguaglianza si può notare che la risultante delle forze di massa dovute alla forza che nel nostro caso rappresenta la gravità, nel caso dell’aria è tranquillamente trascurabile, e di conseguenza si ⃗ ≈ 0 può approssimare ottenendo così: ⃗∫ − ∫ ⃗ = 0() ()

A questa equazione però non si può applicare il lemma di localizzazione poiché il primo è un integrale di volume mentre il secondo è di superficie. ⃗

Bisogna quindi studiare il termine e manipolarlo per capire come ottenere un’equazione più semplice. ∫() ̂ ̂⃗ ⃗ = ⃗ (⃗, , ̂, )

La tensione è funzione di: con s coordinata parametrica. Il componente rappresenta la curvatura della superficie nel punto di contatto.

Bisogna però ricordare che si stanno studiando tensioni dovute a particelle di pochi micron su profili di diversi centimetri/metri e di conseguenza Cauchy afferma che si può trascurare il contributo dovuto alla curvatura della superficie, e di conseguenza la tensione è solo funzione della normale della superficie, in particolare il I teorema di