Esercizi sulle serie di Fourier

Facciamo un altro esercizio sugli sviluppi in Serie di Fourier

Facciamo un altro esercizio sugli sviluppi in Serie di Fourier.

f(x) = 0      x ∈ [-π, 0)

sinx      x ∈ [0, π)

T = 2π      I = [-π, π]

Determinare la serie di Fourier associata alla funzione f(x), stabilire se questa serie converge, stabilire x in sviluppa e determinare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑_k=1 (-1)^k-1 / 4k²-1      ∑_k=0 1/4(k²+k+1)

Coefficienti della serie

a₀ = 1/π ∫ f(x)cosx dx

a_k = 1/π ∫ f(x)coskx dx

b_k = 1/π ∫ f(x)sinkx dx

a₀ = 2/π

a_k = 1/π ∫₀^π f(x)coskx dx = 2/π ∫₀^π sinx cosx dx = 1/π [sinx sinx_cosxxcoskx dx = 1/π ∫₀^π [sinx cosx dx = 2/π ∫₀ [seux dx = [-cosx]

se k > 1 a_k = 1/2π [−coslcosk] / k − 1 = 1/2π [[cos(k−1)x / k − 1] / _k+1 [π] = 1/2π [cos(k+1)x / π + k]

Facciamo un altro esercizio sugli sviluppi in serie di Fourier

Facciamo un altro esercizio sugli sviluppi in Serie di Fourier

f(x) = { (0, x ∈ [-π, 0))          (sin x, x ∈ (0, π])

I = [-π, π]

T = 2π

Determinare la serie di Fourier associata  alla funzione f(x), stabilire se questa  serie converge uniformemente e  determinare la somma delle  seguenti serie numeriche:

∑_k=1 ^∞ 1/2^k + 1/4^k - 3

∑_k=1 ^∞ 1/2^2k + 1/4^2k - 4

Calcolo dei coefficienti

a₀ = (1/π) ∫_-π^π f(x) dx

a_k = (1/π) ∫_-π^π f(x) cos kx dx

b_k = (1/π) ∫_-π^π f(x) sin kx dx

a₀ = (1/π) ∫₀^π sin x dx =        = (1/π) [-cos x]₀^π = (-1/π)(-cos π - cos 0) = (1/π)(2) = 2/π

a_k = (1/π) ∫₀^π sin x cos kx dx = (1/π) ∫₀^π (1/2) [sin(x-k)x + sin(x+k)x] dx

= (1/2) [∫₀^π sin(x-k)x dx + ∫₀^π sin(x+k)x dx]

se k>1 a_k = (1/2π) [(-cos(x-k)x)/(1-k) - (-cos(x+k)x)/(1+k)]₀^π

= (1/2π) [(cos(k-1)x)/(k-1) - (cos(k+1)x)/(k+1)]₀^π

= ¹/₂ [(-1)^k-1 - (-1)^{k+1 1}/_k-1 + ¹/_k+3] == ¹/₂ [(-1)^{k+1 1}/_k-1 - (-1)^{k+3 1}/_k+1 + ¹/_k-4] == ¹/₂ [(-1)^{k+1 1}/_k-1 + ¹/_k+1 = ¹/_(k-4) - ¹/_(k-5) ] == ¹/₂ [(-1)^{k+1 1}/_k-4 - ¹/_(k+4) ]

= ¹/₂ ([(-1)^{_k+1 1}/_(k-1)(k+1) ] = ¹/₂ [((-1)^{k+1 1}/_k-1(k+1)) - ¹/_(k+1)(k+3) - (-1)^{k+1 1}/_k(k-1) - a_k = k>2

a₁ = ¹/₂ ∫ sen2 dx = ¹/₂ [-cos ]

b_k = ¹/_π [∫^π sen dx ] = ¹/_π [cos(1-k) - cos _1+x ] dx == ¹/₂ [cos(1-k) dx = ∫ cos(1+k)x dx

k : b_k = ¹/₂ [sen(-)] - sen(1+k)x^π/_1-

b₁ = ¹/₂ [∫^∏ dx - ∫ cos2] = ¹/₂ [( ^sen/₂] ^∏/₁) ¹/_2π ⨉ ¹/₂]

Ricapitolando

Ricapitolando

a₀ = ²⁄_π , a₁ = 0 , a_k = ^(-1)k+1⁄_k²(k²-1) k > 2

b_z = ¹⁄₂ , b_k = 0 ∀k ≥ 2

a₀⁄₂ + a₁ cos x 1 b₂ sen x + ∑_k=2^+∞ a_n cos kx + b_k sen kx = = ¹⁄_π+ ¹⁄₂ sen x + ∑_k=2^{+∞ (-1)k+1}⁄_k²(k²-1) cos kx = = ²⁄_π+ ¹⁄₂ sen x + ∑_k=1^{+∞ 1-1}⁄_(2k)²-1 cos 2kx = = ¹⁄_π+ ¹⁄₂ sen x + ²⁄_π ∑_k=1^{+∞ 1}⁄_4k²-1 cos 2 kx = g(x) ∀xεℝ

Somma delle serie numeriche

Ora ci calcoliamo la somma delle 2 serie numeriche:

∑_k=1^{+∞ 1}⁄_4k²-1 ∑_k=1^{+∞ (-1)k}⁄_4k²-1

X = 0

¹⁄_π+ ²⁄_π ∑_k=1^{+∞ 1}⁄_4k²-1 = β(x)

∑_k=1^+∞1⁄_k² = ^π2⁄₆ = ∑_k=1^+∞1⁄_(2k)² = ^π2⁄₂₄ ^-π⁄₂

X = π⁄2

¹⁄_π-²⁄_π∑_k=1^+∞1⁄_4k²-1 con sin kx ^β(π⁄2) ¹⁄_π- ¹⁄₂ (-^π⁄₂) = 1-²⁄_π∑_k=1^+∞(-1)k⁄_4k²-1+²⁄_π∑_k=1^+∞1⁄_4k²-1

= 1 - ¹⁄_π^(-1)k⁄_4k²-1

∑_k=1^+∞ ∑_k=1^+∞(-1)k+1⁄_4k²-1-∑_k=1^+∞(-1)k⁄_4k²-1 = ¹⁄_π(^π⁄₂) - ^π⁄₂

E queste due sono le somme delle due serie

Ora facciamo un altro esercizio riguardante gli sviluppi in serie di Fourier

Ora facciamo un altro esercizio riguardante gli sviluppi in serie di Fourier. In particolare andiamo a considerare una funzione periodica a scrivere la serie di Fourier associata e a dedurre alcune proprietà:

f(x) = x-1      x ∈ [0,2]

ω = \(\frac{2\pi}{T}\) = \(\frac{2\pi}{2}\) = π

a₀ = \(\frac{2}{T}\) ∫_I f(x) dx

a_n = \(\frac{2}{T}\) ∫_I f(x) cos nx dx

b_n = \(\frac{2}{T}\) ∫_I f(x) sen nx dx

Intervallo centrato in 0

Vogliamo considerare un intervallo I centrato in 0, quindi I mette I pari [-1,1]. Se evidenziamo la nostra funzione in questo intervallo ci accorgiamo che la funzione che prendiamo è quella disegnata in Verde, che Non è ovviamente di funzione: (x-1), ma coincide con essa in [0,1] e dall’altra parte quello che si ottiene qua sotto, che è stata prodigata con periodica.

Osserviamo anche che detto d’segna in [-1,1] , risulta essere evidentemente Dispari => a₀, a_k nulli.

quindi:

I = [-1;1] → Dispari => a_n = 0

a_k = 0      ∀k∈N

Calcolo del coefficiente b

b_k = ²/₂ ∫₀¹ f(x) senkx dx = ∫₀¹ (x-1) senkx dx == 2 ∫₀¹ (x-1) senkx dx = 2 ∫₀¹ (x-1) senkx dx == 2 [-(x-1)^coskx/_k] - ∫₀^{1 coskx}/_k dx

= 2 [-(x-1)^coskx/_k + ^senkx/_k²²] == 2 [-(−¹/_k)] = ²/_k = b_k

Serie di Fourier associata

Ora siamo in grado di scrivere la questa serie di Fourier associata alle funzioni (x-1): x

X - 1 / ∫¹/_senkx¹/_coskx+0 ∑_k=1 ²/^senkx/_k

Allora la serie di Fourier converge ma non converge a f(x) per tutte le x di R solo per x in cui la funzione che abbiamo preso e continua, pertanto la funzione di partenza Non e esprimibile in serie di Fourier

Se nella serie di Fourier al posto di x sostituire 1/2, otteniamo

X=¹/_{2 k=1}^{∞ 2}/^{senk/_k = 1/_{2 ≈ 0} (cosa in quanto la funzione f assume 1 in seno}1/2

Aggiustiamola un po’:

²/ ∑_k=1^{∞ senk}/_k = ¹/₂

questo ci autorizza a dire che la serie è univ. dir. daport. paratin cui PAN e voluta. Quindi

3 / 2 = ⁿ/_k

sen^k

senk / 2

senk / 2 , k = pari

senk / 2 , k è dispari