I Campi Vettoriali

Capitolo 1

I Campi Vettoriali

1.1 Definizione

Un campo vettoriale è una porzione di spazio in cui ad ogni punto di questo

si associa un vettore appartenente allo spazio stesso. Se i vettori hanno stesso

modulo e verso in ogni punto il campo si dirà uniforme, se i vettori restano

invariati nel tempo il campo si dirà stazionario. 3 3

→

Un campo vettoriale risulta quindi una funzione da R R , visto che

qui consideriamo solo campi nello spazio senza estendere il discorso a spazi

con più di tre dimensioni, cosa tuttavia possibile. Tale funzione in seguito

sarà considerata continua e con derivate parziali del primo ordine anche esse

continue.

Il generico campo B può anche essere rappresentato mediante le sue

~k.

~ ~i ~j

· · ·

componenti, quindi B = B + B + B

x y z

Un modo semplice per visualizzare i campi vettoriali è utilizzare le linee di

campo, introdotte da M. Faraday. Alcune norme regolano convenzionalmente

l’uso di tali linee:

• Per un punto passa una ed una sola linea di campo, quindi queste non

si incrociano mai.

• Le linee di campo possono essere sia chiuse che aperte.

• Le linee sono tangenti in ogni punto al vettore che lı̀ rappresentano e

hanno verso concorde con quello del vettore stesso.

• Le linee di campo si tracciano in modo tale che il numero di queste che

attraversa una superficie unitaria a loro normale sia proporzionale al

valore medio del vettore. 2

Da questa ultima regola deriva che visivamente il vettore ha un valore medio

più alto dove le linee di campo si addensano.

1.2 Flusso

Ricordiamo subito che ad una superficie può essere associato un vettore nor-

male ad essa la cui intensità sia proporzionale alla dimensione dell’area stes-

sa e l’orientamento arbitrario. Tuttavia se si è in presenza di una superficie

chiusa e questa è divisa in porzioni di area più piccola, convenzionalmente il

vettore che le rappresenta sarà uscente dalla superficie chiusa.

Dunque, sia B un campo vettoriale uniforme che attraversa perpendico-

larmente una superficie A che inizialmente consideriamo piana. Il flusso Φ,

in questo che risulta il caso più facile, si definisce come:

·

Φ= B A (1.1)

Nella raffigurazione dei campi attraverso le linee di campo, il flusso si

riduce al numero delle linee che passano attraverso la superficie A.

Consideriamo ora il caso in cui la superficie non sia piana e B non sia

uniforme. Bisognerà riferirsi allora ad elementi differenziali di area dA che

possiamo considerare piani e che sono cosı̀ piccoli da poter essere ritenuto

costante il campo al loro interno. Tale campo però non attraverserà per

forza l’area dA sempre perpendicolarmente ma può formare un angolo α

~

con il vettore d A normale all’area stessa. Il flusso dipende però solo dalla

~ ·

componente di B parallela a d A e quindi da B cos α. Sommando tutti i

contributi differenziali il flusso sarà allora:

Z ·

Φ = B cos αdA

Z ~ ~

·

= B d A (1.2)

Nella parte finale dell’equazione abbiamo inserito il prodotto scalare, in-

fatti ci trovavamo in presenza del prodotto di due quantità vettoriali per il

coseno dell’angolo tra loro compreso che è appunto la definizione di prodotto

scalare.

Risulta inoltre, dalla presenza del coseno nella 1.2, che convenzionalmente

il flusso entrante è considerato negativo e quello uscente positivo, ma anche

che il flusso è nullo se il campo è parallelo alla superficie e massimo in modulo

se le è perpendicolare. 3

1.3 Potenziale e Gradiente 3 →

Consideriamo una generica funzione scalare U:R R, che rappresenta inol-

tre un campo scalare, e che in altri termini possiamo scrivere come U (P )

~

con P = (x; y; z), e il campo vettoriale B, anche esso funzione di P, cioè

~ ~

B = B(P ). ~ ~i

· ·

Prendiamo in considerazione ora il vettore differenziale d P = dx + dy

~k.

~j ·

+ dz ~k

~ ~ ~i ~j

· · ·

Moltiplicando scalarmente d P e B = B + B + B , si avrà che:

x y z

~ ~

· · · ·

B d P = B dx + B dy + B dz (1.3)

x y z

Esisterà però anche una funzione scalare il cui differenziale sia uguale alla

1.3, questa funzione scalare sarà la generica U (P ) e pertanto:

· · ·

dU = B dx + B dy + B dz (1.4)

x y z

ma per definizione si avrà anche che:

∂U ∂U

∂U · · ·

dx + dy + dz (1.5)

dU = ∂x ∂y ∂z

Componendo la 1.4 con la 1.5 risulterà che:

∂U ∂U

∂U = B ; = B ; = B (1.6)

x y z

∂x ∂y ∂z

Si definisce quindi B il gradiente di U mentre U è detto il potenziale di

B. ∂U ∂U ∂U

~ ~

~ ~ ~

· · ·

i + j + k (1.7)

B = grad(U )= ∂x ∂y ∂z

Introduciamo ora l’operatore differenziale Nabla (∇) che si definisce come:

∂ ∂

∂ ~

~ ~

∇ · · ·

= i + j + k (1.8)

∂x ∂y ∂z

Possiamo quindi scrivere il gradiente in forma compatta sfruttando il

Nabla: ∂U ∂U ∂U ~

~ ~

∇U · · ·

= i + j + k (1.9)

∂x ∂y ∂z

Dal punto di vista qualitativo il potenziale risulta un campo scalare as-

sociato ad un campo vettoriale mentre il gradiente è un campo vettoriale

associato ad un campo scalare. Per la precisione il gradiente è una grandezza

4

vettoriale che indica il variare di un campo scalare al variare dei parametri

da cui dipende. Dalla 1.9 infatti si ricava che il verso del gradiente è quello

in cui c’è un aumento di U.

Le superfici in cui U = cost. vengono definite equipotenziali, e su queste

superfici si ha necessariamente che dU = 0 e inoltre ricordando la 1.3 e la

1.4 risulta evidente che il vettore gradiente deve essere perpendicolare a tali

~ ~

·

superfici, infatti dovendo essere nullo B d P e non essendo nulli ne B ne dP

si avrà che cosα = 0 con α angolo tra i due vettori.

1.4 Divergenza

Consideriamo una superficie A chiusa, questa intercetterà un volume V. La

divergenza per definizione è il rapporto tra il flusso attraverso tale superficie

→

chiusa e il volume da lei intercettato quando V 0. In formula, ricordando

la 1.2: 1 I ~ ~

·

·

divB = lim B d A

V

→0

V A

dΦ

= (1.10)

dV

Prendiamo dunque l’elemento differenziale del volume dV, come un cubo

di dimensioni dx, dy, dz. Con riferimento all’immagine, il vertice D avrà coor-

dinate (x; y; z) e i lati saranno paralleli agli assi. Al solito saranno B , B , B

x y z

le componenti nelle direzioni degli assi del campo vettoriale B.

Ricordando che in quanto ci troviamo in presenza di una superficie dif-

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ferenziale si possono ritenere soddisfatte le condizioni che ci permettono di

usare la 1.1, si avrà che il flusso attraverso la faccia ABCD:

−B · ·

dΦ (B) = dy dz (1.11)

ABCD x

Dove il segno meno si giustifica considerando che il flusso entrante è con-

venzionalmente negativo. Calcoliamo il flusso uscente dalla faccia opposta

per ottenere il flusso netto nella componente x. In questo caso la superficie è

la stessa ma il campo ha subito un incremento dB e quindi ricorrendo alla

x

definizione di derivata: ∂B x

0 · dx (1.12)

= B + dB = B +

B x x x

x ∂x

Quindi il flusso netto: ∂B ∂B

x x

· · · ·

dΦ = dx dy dz = dV (1.13)

x ∂x ∂x

Ripetendo il procedimento anche per le componenti y e z e sommando i

tre flussi ottenuti avremo il flusso netto su tutto il cubo, quindi:

∂B ∂B ∂B

x y z ·

dΦ = ( + + ) dV (1.14)

∂x ∂y ∂z

Utilizzando la 1.10 e la 1.14 si otterrà che:

∂B ∂B ∂B

x y z

divB = + + (1.15)

∂x ∂y ∂z

Dalla definizione di Nabla si ricava invece che:

~ ~

∇ ·

divB = B (1.16)

Ritornando alla 1.14, risulta evidente che il flusso attraverso una superficie

chiusa è la somma dei flussi dei singoli flussi differenziali, ma è anche uguale

alla 1.2, quindi in formule:

I I

~ ~

·

B d

A = dΦ

A V

I ~ ~

∇ · ·

= ( B) dV (1.17)

V

La 1.17 prende il nome di Teorema della Divergenza e permette di passare

da un integrale di superficie ad un integrale di volume e viceversa.

Dal punto di vista qualitativo, la divergenza misura la tendenza di un

campo vettoriale a convergere o a divergere verso un punto del campo stesso.

6

Un campo in cui si ha divB = 0 per qualunque valore di x, y e z si dice

solenoidale. Il nome deriva dei solenoidi in quanto, quando sono percorsi

da corrente, creano un campo magnetico, appunto solenoidale, in cui, come

si vedrà diffusamente in 2.2.2, la divergenza è sempre nulla. Caratteristica

dei campi solenoidali è di avere sempre flusso nullo attraverso una qualsiasi

superficie chiusa, questo deriva chiaramente dalla 1.10.

1.5 Rotore ~k

~ ~i ~j

· · ·

Sia al solito B = B + B + B e si consideri un punto P da cui si

x y z

dipartono, come in figura 1.2, due lati parallelamente agli assi y e z. Tali lati

misureranno dy e dz.

Il campo avrà nei tratti PL ed NP le componenti date invece nei tratti LM

e MN quelle componenti aumentate da un incremento come quello espresso

nella 1.12. Calcolando la circuitazione lungo il rettangolo PLMN nel senso

indicato dalla freccia in figura, si avrà che:

∂B ∂B

Z y

z

~ ·dy+(B ·dy)·dz−(B ·dz)·dy−B ·dz

B·d~

s = B + + (1.18)

y z

y z ∂y ∂z

P LM N

Da cui sviluppando: ∂B ∂B

Z z y

~ · − · ·

B d~s = ( ) dy dz (1.19)

∂y ∂z

P LM N

Definiamo il rotore come il vettore con modulo:

1 I ~

· ·

rotB = lim B d~s (1.20)

A

A→0 S

Dove S è la linea chiusa lungo la quale si fa la circuitazione ed A la

superficie intercettata da tale linea. Il vettore rotore sarà perpendicolare alla

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superficie e avrà verso secondo la regola della mano destra. Tornando al

·

nostro caso avremo che, essendo dy dz = A:

1 ∂B ∂B

z y

~ ~i

· − · ·

rotB = lim ( ) A (1.21)

x A ∂y ∂z

A→0

Ossia: ∂B

∂B y

z

~ ~i

− ·

) (1.22)

rotB = (

x ∂y ∂z

Svolgendo un analogo procedimento per le componenti y e z del rotore si

ha che: ∂B ∂B ∂B ∂B ∂B ∂B

z y x z y x ~k

~ ~i ~j

− · − · − ·

rotB = ( ) + ( ) + ( ) (1.23)

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Facendo uso dell’operatore Nabla si ha che:

∂B ∂B ∂B ∂B ∂B

∂B y x z y x

z ~k

~ ~ ~i ~j

− · − · − ·

∇ × ) + ( ) + ( ) (1.24)

B = ( ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

In quanto prodotto vettoriale il rotore può anche essere scritto in forma

matriciale: ~k

~i ~j

 

~ ~ ∂ ∂ ∂

∇ × B = det (1.25)

 

∂x ∂y ∂z

 

B B B

x y z

Dal punto di vista qualitativo il rotore è un indice della tendenza di un

campo vettoriale a ruotare attorno ad un punto. Se in ogni punto rotB = 0

il campo è irrotazionale. 8

Capitolo 2

Il Campo Magnetico

2.1 Definizione ~

Il campo magnetico è un campo vettoriale e si indica con il vettore B, che da

ora in poi non avrà più il significato generico di campo vettoriale. L’unità di

misura S.I. per questo campo è il Tesla (T), di cui tra poco si darà l’equazione

dimensionale. Comunque diffusa resta un’altra unità di misura non ufficiale,

il Gauss (G) dove: 4

1T = 10 G (2.1)

Interessante sottolineare come il campo magnetico sulla superficie terre-

stre risulti proprio di 1G (cfr. 3.1).

Nel seguito ci occuperemo soltanto del caso in cui il campo magnetico si

trovi nel vuoto.

Il campo magnetico non si può definire analogamente al campo elettri-

co semplicemente perché non è stata ancora dimostrata l’esistenza di una

particella magnetica con carica elementare, detta monopolo magnetico. Tut-

tavia alcune teorie di grande unificazione la prevedono e P. Dirac mostrò che

l’eventuale esistenza di tali monopoli spiegherebbe la quantizzazione della

carica elettrica.

Si necessita dunque di un metodo alternativo per definire B. Risultando

sperimentalmente provato che un campo magnetico esercita una forza (co-

~

munemente nota come forza di Lorentz, F ) su una particella carica in moto,

B

possiamo definire il campo magnetico a partire da qui, infatti si ha che:

~ ~

· ×

F = q ~v B (2.2)

B

Consideriamo ora solo il modulo di B per compiere un’analisi dimensio-

nale: 9 F B (2.3)

B = | | ·v

q

Da cui: N

1T = 1 (2.4)

·

A m

−1 −1

B = [M ][T ] [Q] (2.5)

In alternativa per definire B si può fare ricorso alla forza a cui è soggetto

un filo di lunghezza L percorso da una corrente i, posto all’interno di un

campo B.

Essendo L un vettore che ha come verso quello in cui è percorso da i, si

avrà allora che: ~ ~ ~

· ×

F = i L B (2.6)

B

In realtà questa è solo un’altra forma della 2.2. Dimostriamolo appunto

passando dalla 2.2 alla 2.6; valgano le stesse lettere di cui sopra e sia v = cost:

~ ~

· ×

F = q ~v B

B L ·

· B sin α (2.7)

F = q

B t