I Campi Vettoriali

Liceo Scientifico Statale “A. Bafile” L’Aquila

I campi vettoriali

L’aspetto matematico, il campo magnetico ed il geomagnetismo

Francesco Di Giambattista

VC P.N.I.

A.S. 2006/07

Introduzione

Lo scopo che si prefigge tale tesina è quello di affrontare lo studio dei campi vettoriali partendo dall’aspetto matematico e illustrando gli strumenti atti al loro studio: flusso, gradiente, potenziale, divergenza e rotore, introducendo anche l’uso dell’operatore differenziale Nabla.

Proprio per mostrare un possibile utilizzo di tali strumenti si farà poi riferimento al campo magnetico. Dopo averne dato la definizione si tratteranno la seconda e la quarta Equazione di Maxwell, evidenziando come avviene il passaggio dalla forma integrale alla forma differenziale.

Per generalizzare ancora di più e cogliere la fondamentale importanza che i campi vettoriali hanno nelle Scienze si parlerà anche del campo geomagnetico, affrontando le problematiche riguardanti la sua origine, il suo studio e le sue variazioni.

Per quello che riguarda l’argomento da trattare la scelta è scaturita dal desiderio di dare una veste organica agli approfondimenti compiuti in materia nell’arco dell’ultimo anno e dalla volontà di presentare all’esame di Stato qualcosa di originale.

Dove con originale ci si riferisce al contesto in cui è presentato, visto che diversi aspetti trattati qui non molto spesso vengono affrontati nell’arco degli studi liceali.

La tesina non risulta molto lunga, infatti si è cercato di rispettare il motto caro a Gauss: Pauca sed Matura.

Inoltre si è pensato che inserendo per forza anche materie assolutamente non pertinenti all’argomento trattato, con collegamenti magari fantasiosi, si sarebbe solamente svilito un lavoro svolto con passione.

Ci si scusa sin da ora per gli errori e le sviste sicuramente presenti nel testo, per la cui realizzazione grafica si è fatto uso di L TEX attraverso l’editor

A

TeXnicCenter e il compilatore MikTex 2.6. F. Di Giambattista

fdigiambattista@libero.it

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Capitolo 1

I campi vettoriali

1.1 Definizione

Un campo vettoriale è una porzione di spazio in cui ad ogni punto di questo si associa un vettore appartenente allo spazio stesso.

Se i vettori hanno stesso modulo e verso in ogni punto il campo si dirà uniforme, se i vettori restano invariati nel tempo il campo si dirà stazionario. 3 3

→

Un campo vettoriale risulta quindi una funzione da R R, visto che qui consideriamo solo campi nello spazio senza estendere il discorso a spazi con più di tre dimensioni, cosa tuttavia possibile.

Tale funzione in seguito sarà considerata continua e con derivate parziali del primo ordine anche esse continue.

Il generico campo B può anche essere rappresentato mediante le sue componenti, quindi B = B_x · i + B_y · j + B_z · k.

Un modo semplice per visualizzare i campi vettoriali è utilizzare le linee di campo, introdotte da M. Faraday.

Alcune norme regolano convenzionalmente l’uso di tali linee:

• Per un punto passa una ed una sola linea di campo, quindi queste non si incrociano mai.
• Le linee di campo possono essere sia chiuse che aperte.
• Le linee sono tangenti in ogni punto al vettore che lì rappresentano e hanno verso concorde con quello del vettore stesso.
• Le linee di campo si tracciano in modo tale che il numero di queste che attraversa una superficie unitaria a loro normale sia proporzionale al valore medio del vettore. 2

Da questa ultima regola deriva che visivamente il vettore ha un valore medio più alto dove le linee di campo si addensano.

1.2 Flusso

Ricordiamo subito che ad una superficie può essere associato un vettore normale ad essa la cui intensità sia proporzionale alla dimensione dell’area stessa e l’orientamento arbitrario.

Tuttavia se si è in presenza di una superficie chiusa e questa è divisa in porzioni di area più piccola, convenzionalmente il vettore che le rappresenta sarà uscente dalla superficie chiusa.

Dunque, sia B un campo vettoriale uniforme che attraversa perpendicolarmente una superficie A che inizialmente consideriamo piana.

Il flusso Φ, in questo che risulta il caso più facile, si definisce come:

Φ = B · A (1.1)

Nella raffigurazione dei campi attraverso le linee di campo, il flusso si riduce al numero delle linee che passano attraverso la superficie A.

Consideriamo ora il caso in cui la superficie non sia piana e B non sia uniforme.

Bisognerà riferirsi allora ad elementi differenziali di area dA che possiamo considerare piani e che sono così piccoli da poter essere ritenuto costante il campo al loro interno.

Tale campo però non attraverserà per forza l’area dA sempre perpendicolarmente ma può formare un angolo α con il vettore d A normale all’area stessa.

Il flusso dipende però solo dalla componente di B parallela a d A e quindi da B cos α.

Sommando tutti i contributi differenziali il flusso sarà allora:

Φ = ∫ B cos α dA

= ∫ B · d A (1.2)

Nella parte finale dell’equazione abbiamo inserito il prodotto scalare, infatti ci trovavamo in presenza del prodotto di due quantità vettoriali per il coseno dell’angolo tra loro compreso che è appunto la definizione di prodotto scalare.

Risulta inoltre, dalla presenza del coseno nella 1.2, che convenzionalmente il flusso entrante è considerato negativo e quello uscente positivo, ma anche che il flusso è nullo se il campo è parallelo alla superficie e massimo in modulo se le è perpendicolare. 3

1.3 Potenziale e gradiente 3 →

Consideriamo una generica funzione scalare U: R R, che rappresenta inoltre un campo scalare, e che in altri termini possiamo scrivere come U (P) con P = (x; y; z), e il campo vettoriale B, anche esso funzione di P, cioè B = B(P).

Prendiamo in considerazione ora il vettore differenziale d P = dx · i + dy · j + dz · k.

Moltiplicando scalarmente d P e B = B_x · i + B_y · j + B_z · k, si avrà che:

B · d P = B_x dx + B_y dy + B_z dz (1.3)

Esisterà però anche una funzione scalare il cui differenziale sia uguale alla 1.3, questa funzione scalare sarà la generica U (P) e pertanto:

dU = B_x dx + B_y dy + B_z dz (1.4)

Ma per definizione si avrà anche che:

dU = ∂U/∂x dx + ∂U/∂y dy + ∂U/∂z dz (1.5)

Componendo la 1.4 con la 1.5 risulterà che:

∂U/∂x = B_x; ∂U/∂y = B_y; ∂U/∂z = B_z (1.6)

Si definisce quindi B il gradiente di U mentre U è detto il potenziale di B.

B = grad(U) = ∂U/∂x · i + ∂U/∂y · j + ∂U/∂z · k (1.7)

Introduciamo ora l’operatore differenziale Nabla (∇) che si definisce come:

∇ = ∂/∂x · i + ∂/∂y · j + ∂/∂z · k (1.8)

Possiamo quindi scrivere il gradiente in forma compatta sfruttando il Nabla:

∇U = ∂U/∂x · i + ∂U/∂y · j + ∂U/∂z · k (1.9)

Dal punto di vista qualitativo il potenziale risulta un campo scalare associato ad un campo vettoriale mentre il gradiente è un campo vettoriale associato ad un campo scalare.

Per la precisione il gradiente è una grandezza vettoriale che indica il variare di un campo scalare al variare dei parametri da cui dipende.

Dalla 1.9 infatti si ricava che il verso del gradiente è quello in cui c’è un aumento di U.

Le superfici in cui U = cost. vengono definite equipotenziali, e su queste superfici si ha necessariamente che dU = 0 e inoltre ricordando la 1.3 e la 1.4 risulta evidente che il vettore gradiente deve essere perpendicolare a tali superfici.

Infatti dovendo essere nullo B · d P e non essendo nulli né B né dP si avrà che cos α = 0 con α angolo tra i due vettori.

1.4 Divergenza

Consideriamo una superficie A chiusa, questa intercetterà un volume V.

La divergenza per definizione è il rapporto tra il flusso attraverso tale superficie chiusa e il volume da lei intercettato quando V → 0.

In formula, ricordando la 1.2:

div B = lim_{V → 0} ∫ B · d A