Matrici e determinanti

Prof. Raffaele

SANTORO

periodi per

(5 settimana)

Classi 6-7 Edizrone

Seconda - 1994195

Anno Scolastico

Lussemburgo

di

Europea

Scuola Tutti i riservati.

diritti qualsiasi mezzo.

Riproduzione vietata con

Indice

Capitolo I

Matrici e Determinanti..... ...................1

Gapitolo 2 piano (richiami) ..,..........23

PunÍi, vettori relte ............

e nel

Gapitolo 3 piano. .....37

Aspetto unalitico e matriciale.........,

Trasformazioni nel

Capitolo 4 .............55

piani rette nello spazio

Punti, vettori, e

Capitolo 5 .........95

della sfera e applicazioni........

Equazione

Gapitolo

6 .........107

e matriciale............

analitico

Aspetto

nello spafio.

Isometrie

Appendice 19

......1

Problemi

supplementari

Prefazione 2^

alla edizione

ragioni prima questo

Le della nascita

della edizione

di corso di restano

Geometria valide: I'assenza,

panorama

nel editoriale italiano, di un corso di Geometria

dello spazio

con I'ausilio dello strumento

previsto programma (5 periodi per

vettoriale

e matriciale,

come dal di Matematica

delle classi 6-7

settimana)

delle Scuole

Europee. 'su ' per

Tuttavia,

la disponibilità di un corso misura le Europee

ha alcuni colleghi a

Scuole spinto

prima

volersi la fatica di una traduzione edizione in altre lingue. Sono così compar-

sobbarcare della

(a Luxembourg),

una

in versione

in francese cura del collega

J.P. MASCLE,

se, ordine di tempo, una (a

(a ed una versione

in tedesco cura

in collega J. THORSEN, Luxembourg)

versione danese cura del questi ringraziamento,

anche

colleghi va un sentito

KOzuNG, Bruxelles II). A tutti

del collega D. 'diritti questo prezzo

il di ogni

corso:

perchè filosofia d'autore' di

hanno con me la dei

condiviso Unicef.

100 FB da inviare ai Comitati

al costo di riproduzione

fissato

copia viene aggiungendo di

per dei suggerimenti

tener conto

per omissioni e

rimediare

ad alcune

esce

seconda

edizione

Questa piu importanti:

i cambiamenti

alcuni colleghi. Questi

o proiezione un retta;

su

per e ortogonale

terzo: omotetie

il capitolo piani

. nello spazio;

proprietà

geometriche rette e

peso di

quarto:

per maggior alle

il capitolo residui.

o proposti di errori

e correzione

per numero degli esercizi

aumento del

tutti i capitoli: più opportuno,

ritengono

studio che

possono l'itinerario di

seguire

i colleghi

se, owiamente,

Anche questo

profitto da

per massimo

il

trarre

mi ottimale

che sembra

permetto un itinerario

mi di suggerire

corso:

Classe

6

. (Matrici e determinanti).

1

Capitolo -

. piano Richiami).

del

(Punti, e rette

2 vettori

Capitolo

. piani dello spazio).

(Punti, e rette

vettori,

4

Capitolo

7

Classe

. (visti 6).

in Classe

1,2 e 4

dei capitoli

Ripasso

o e applicazioni)

(Equazione sfera

della

5

Capitolo - matriciale).

e

piano analitico

. Aspetto

(Trasformazíoni del

3

Capitolo - matriciale).

e

analitico

Aspetto

. spazio

(Trasformazioni dello

6

Capitolo previsti

problemi nell'Appendice.

o i

di tutti

Risoluzione al

preparazione

per la

che

possa oltre

servire,

versioni,

diverse

sue

nelle

il corso,

che

I'auspicio

Resta punto di

come

e

Università

in alcune

d'ingresso

preparazione

all'esame

per la

anche

Bac Europeo, per l'Università.

primo di Geometria

corso

partenzadi un 1994

Luglio

Luxembourg, SANTORO

Raffaele I

Capitolo

..........

3

TIPO..'.........

STESSO

DELLO

MATRICI

DUE

DI

2 SOMMA 3

.............

REALE....

NUMERO

UN

PER

MATRICE

DI UNA

3 MOLTIPLICAZIONE 4

""""""""""'

MATRTCE

DI UNA QUADRATA

4 DETERMINANTE 4

"""""""""""""

maîrice 2x2..............

Io caso: 5

"""""""""""""

matrice3xJ..............

caso:

2o 7

"""""""""'

(con 3).

n>

nxn

matrice

3o csso: 9

"""""""""""'

MATRICI......

DI DUE

PRoDorro

5 I

........ I

OT

CN.IUNN.

REGOLA

LA

CON

LINEARI

SISTEMI

DEI

RISOLUZIONE

6 13

.............

MATRICE

DI UNA QUADRATA..

INVERSA

7 MATRICE 13

""""""""

= 2 . . . . . . . . . . . .

n

c a s o :

I o 14

""""""""

=

n 3 . . . . . . . . . . . .

2 o c u s o : 16

""""""""

>

n 3............

caso:

3o 18

"""""""""""

MATRICIALE

IL CALCOLO

CON

LINEARE

SISTEMA

DI UN

RISOLUZIONE

8 19

""""""""

N.""""""""'

oRDtNE

DI

MA'IIIcI

DELLE QUADRATE

9 ANELLo

2 Cap.

1. Matrici

e determinanti

1 Definizioni

una matrice reale (a elementi

in R, insieme

de numeri reali) è una tabella

rettangolare

mxn (m righe e n colonne)

di numeri reali. Sono matrici reali, ad

esempio: -]),,=[',

,:[+]

,=(: i;')

La matrice A è una matrice rettangolare

3x I avente 3 righe e I colonna. La matrice B

è una matrice quadrata

2x2 avente

due righe e due colonne. La matrice c è una

matrice rettangolare

2x3 avente 2 righe e 3 colonne.

In generale,

una matrice

A con m 'ighe e n colonne

si indica così:

( I

att atz arn

I I

Qzt azz Q2n I

0^2 )

A^,

.ao,l

'a 'a 'a

dove 4,,(da leggere uno uno'), (daleggere

ar, uno due'), (da

..., a* leggere

emme enne') gli

sono elementi

della matri ce.

La matrice

A, a volte, è anche

indicata

(a,,),

con oppure do'ue generico

4,, è un (l'elemento

elemento

della matrice

[a.,], s-

simo della riga r-sima).

:

rn

Se n,lamatrice si dice matrice quadrata di ordine n e, inquesto gli

caso,

elementi

ar,az2, ..., an, si dicono

elementi

delladiagonale

principale.

Una matrice quadrata gli

con elementi della diagonale

principale tutti uguali a I gli

e

altri elementi

tutti uguali a 0 si dice matrice unitaria. Ad esempio

la matrice unitaria 3

x3è l o o ì

, : i o r o i

0 1)

\0

Una

matrice, quadrata,

anche

non con gli

tutti elementi

uguali azero

si dice

matrice

nulla.

Ad esempio,

la matrice 'ì

(o 0)

\0

é la matrice nulla2x2.

R.SANTORO'.

Geometria Cap.

1

. Matricie

determinanti

3

Una matrice Ain cui si scambiano

tra di loro le righe con le colonne

dà luogo ad

'A

un'altra

matrice che si chiama trasposta

di l. Così, ad esempio:

'o=(:

'= =

j] -l r)

[-:

2 Somma

di due matrici

dello stesso

tipo ' '

Sia A,n,n

I'insieme questo

delle matri +

ci mxn.In insieme

si definisce

I'operazione

:

(somma)

che +

associa

a due matrici A eB una terza matrice

C A B.tale che:

-1",,],8

=

(u + c:b,,]=b,,*b,,1

[r,"])

Esempio 3ì ,ì

(t (t

-l"

t"'=[_1 '=[i '."'*inarec:A+B'

_or]

Risulta:

Soluzione: 3ì 2ì r+zl sì

j

(t ('-' (o

-+i+ i - 4 + o i = i s

- 4 i

C:i2 3 o i = i 2 + 3 -2)

t)[t t-3)[o

4)

[-' [-'*' gruppo

(A.,nr+)

facile rendersi la è una struttura di commu-

E conto che struttura =

dove I'elemento

neutro la matrice nulla mxn e la matrice inversa

ai e

tativo, è la^f

'l

:

,, f ,. I

(tale prende A

matrice matrice anche

il nome di matrice oppostct

di e

è la A' l-aul

-A). propietà gruppo dalla definizione stessa

viene indicata con le di derivano

Qui

più corrispondenti

delle

matrici degli elementi

somma

di due o come somma

della numeri reali, rispetto all'operazio-

I'insieme di

matrici da dal momento

che

sommare: (Am"nr+) di

anche sarà una struttura

di gruppo commutativo,

ne é una struttura

somma

gruppo commutativo. per reale

un numero

matrice

di una

3 Moltiplicazione

= per numero

A il

prodotto matrice

della

definisce

di A*"n, si

O

una

matrice

Se

.1 fr,,] per fr:

gli moltiplicati

di,4

elementi

quella i elementi

sono

matrice,

B, cui

reale

k =

= B.

kA kb ,,1=

,"f= [ó,"

]

W Geometria

R.SANTORO:

4 Cap.

1'.

Matricie

determinanti -31

Esempio (t 2

=[Z -2A

Se I determinare

le matrici e 3A.

I 0 J,

Risulta

subito:

Soluzione: -4 -el

(-z 61 6

3

-zA=l-+ =[.u

-2 oJ'" 3 o

)

La moltiplicazione per

di una matrice A,n,n

di un numero reale è un'operazione

esterna

quanto

ad An,,,n,

in risulta essere

un'applicazione di RxA*,n in A,n"n:

/

/:RxA,n,n)A,n,n.

*),

può (4.*n (operazione

Si considerare

la struttura dove'+'indica la somma

,R,

'R'

interna)

di due matrici di A*n e sta ad indicare

I'operazione

esterna

di moltiplica-

per (insieme

zione degli elementi A,n,n

di un elemento

di R dei numeri reali e insieme

degli operatori). E facile rèndersi conto allora che la struttura

*)

(A'n,.n reale.

è una struttura di spazio vettoriale

,R,

'vettori' questa

I le matrici di An.,,n

di struttura sono quadrata

matrice

4 Determinante

di una quadrata alla matrice stessa.

una matrice è un numero associato

Il determinante

di partire determinate

elementi della matrice applicando

Tale numero si ottiene a dagli

regole

di calcolo. quadrate

di ordine

principalmente i casi delle matrici

questa

In sede

si considereranno il determinante

di una

come calcolare

farà un rapido cenno

a

n con n:2 o n: 3 e si >

quadrata

matrice con n 3.

10 caso: matrice2x2.

(o,, a,,l di I il numero:

determinante

la matrice. Si definisce

Sia A:l I

azz)

\4zr a , . l

l a , ,

" ' ' l =

=1 a z r a t z

A o,roz z -

de t azzl

lart

R.SANTORO'.

Geometria Cap. 1: Matricie determinanti S

Esempio (-t _t&ig