Grafici di particolari funzioni goniometriche con commenti

Grafici di particolari funzioni goniometriche con commenti 1

F. Bonaldi

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y = sin x

y = sin x + 2

y = sin (x+2)

Le funzioni sono sinusoidi aventi tutte le stesse caratteristiche (ad esempio l’ampiezza e il periodo, pari

2π).

a La funzione seno, y = sin x, è compresa tra le rette di equazione y = ±1. La seconda,

y = sin x + 2, può essere considerata come somma della funzione seno e della funzione costante y = 2, e

quindi è una sinusoide con le stesse caratteristiche della funzione seno, ma compresa tra le rette y = 3 e

y = 1, che si trova lungo la retta di equazione y = 2: essendo traslata, tutti i punti che le appartengono

hanno ascissa uguale a quella dei punti di y = sin x, e ordinata uguale a quella di questi ultimi

π

⎡ ⎤

⎛ ⎞

( )

aumentata di 2 ad esempio, passa per 0;2 e per ;3 . La terza funzione, y = sin (x+2), si

⎜ ⎟

⎢ ⎥

2

⎝ ⎠

⎣ ⎦

distingue dalla funzione seno: entrambe le curve sono comprese tra le rette y = ±1, quindi le ordinate

dei loro punti sono uguali; le ascisse dei punti di y = sin (x+2) sono pari a quelle dei punti di y = sin x,

( ) ( ) ( )

π

= + − − 2;0

⎡ ⎤

diminuite di 2 .

ad esempio, y sin x 2 passa per 2; 0 e per

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F. Bonaldi

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y = sin x

y = sin 2x

y = 2 sin x

Le sinusoidi di equazione y = sin x e y = 2 sin x presentano la stessa periodicità, che vale 2π, ma la loro

ampiezza è differente: ciò dipende dal coefficiente che moltiplica il seno. Infatti, una sinusoide del tipo

y = k sin x con k ≠ 0 è compresa tra le rette di equazione y = ± k, e perciò al variare di k varia anche

l’ampiezza della sinusoide. All’aumentare di k, aumenta l’ampiezza della sinusoide; la periodicità resta

sempre invariata (2π). Prendendo invece in considerazione la funzione y = sin 2x

si può constatare che, come la funzione seno, è compresa tra le rette y = ±1, ma la periodicità è variata:

π

2

=

non più 2π, ma π. Una sinusoide del tipo y = sin kx con k ≠ 0 ha infatti periodo ed è sempre

T k

compresa tra le rette y = ±1. All’aumentare di k, diminuisce la periodicità e viceversa.

2 x

π

Ad esempio, la periodicità della funzione y = sin 3x è: e la periodicità di y = sin è: 6π.

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