Geometria analitica: Scrivere l'equazione della parabola Î³ avente asse di simmetria parallelo all'asse y e passante per i punti A(-1 ; 0), B(4 ; 5) e D(3 ; 0)....

Scrivere l'equazione della parabola

[math]Î³[/math]

avente asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]

e passante per i punti

[math]A(-1 ; 0)[/math]

[math]B(4 ; 5)[/math]

[math]D(3 ; 0)[/math]

Quindi rispondere ai seguenti quesiti:

determinare le equazioni delle rette
[math]t_1[/math]
e
[math]t_2[/math]
tangenti a
[math]Î³[/math]
in
[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
e indicare con
[math]C[/math]
il punto d'intersezione tra
[math]t_1[/math]
e
[math]t_2[/math]
;
verificare che la retta
[math]MC[/math]
, congiungente
[math]C[/math]
con il punto medio
[math]M[/math]
del lato
[math]AB[/math]
del triangolo
[math]ABC[/math]
, è parallela all'asse di
[math]Î³[/math]
.

Svolgimento (0)

Sappiamo che, poiché la parabola ha asse di simmetria parallelo all'asse

[math]y[/math]

, la sua equazione sarà del tipo

[math]y = ax^2 + bx + c[/math]

. Imponiamo il passaggio della parabola per i tre punti assegnati:

[math] A â Î³ \to 0 = a - b + c[/math]

[math] B â Î³ \to 5 = 16a + 4b + c[/math]

[math] D â Î³ \to 0 = 9a + 3b + c[/math]

Mettiamo a sistema le tre equazioni per determinare l'equazione della parabola:

[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
a - b + c = 0&\
16 a + 4b + c = 5&\
9a + 3b + c = 0 &
end{array}
ight.
[math][/math]

Possiamo cominciare effettuando una sottrazione fra la seconda e la terza equazione:

[math] [ 16a + 4b + c = 5 ] + [ - 9a - 3b - c = 0 ] \to 7a + b = 5 [/math]

Da questa equazione ricaviamo

[math]b[/math]

[math] b = 5 - 7a [/math]

Sostituiamo questo valore di b alla prima e alla terza equazione:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
a - (5 - 7a) + c = 0 &\
9a + 3 (5 - 7a) + c = 0 &
end{array}\right.
[math][/math]

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
8a + c -5 = 0 &\
-12 a + c + 15 = 0 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo per sottrazione:

[math] [ 8a + c - 5 = 0 ] + [ 12a - c - 15 = 0 ] \to 20a - 20 = 0 [/math]

Da cui :

[math] a = 1 [/math]

Possiamo ora determinare il valore di

[math]b[/math]

[math]b = 5 - 7a = 5 - 7 = - 2 [/math]

Troviamo il valore di

[math]c[/math]

[math] c = 5 - 8a = 5 - 8 = - 3 [/math]

Determiniamo l'equazione della parabola:

[math] Î³ : y = x^2 - 2x - 3 [/math]

[math] V (- frac(b)(2a) ; - frac(â)(4a) ) \to V (1 ; - 4) [/math]

Possiamo ora rappresentare la parabola nel piano cartesiano:

Ora, rispondiamo ai quesiti:

Svolgimento (1)

Sappiamo che

[math]t_1[/math]

è la tangente in

[math]A[/math]

, mentre

[math]t_2[/math]

la tangente nel punto

[math]B[/math]

Avendo le coordinate dei punti in questione, possiamo utilizzare la formula di sdoppiamento, con la quale troviamo la tangente alla parabola in un punto dato:

[math]t : frac(y + y_0)(2) = ax x_0 + b frac(x + x_0)(2) + c [/math]

[math]t_1 : frac(y + y_A)(2) = ax x_A + b frac(x + x_A)(2) + c [/math]

[math]t_1 : frac(y + 0)(2) = x (-1) - 2 frac(x - 1)(2) - 3 [/math]

[math]t_1 : frac(y)(2) = - x - x + 1 - 3 [/math]

[math]t_1 : frac(y)(2) = - 2x - 2 [/math]

[math]t_1 : y = - 4x - 4 [/math]

Applichiamo la stessa formula per trovare l'altra tangente:

[math]t_2 : frac(y + y_B)(2) = ax x_B + b frac(x + x_B)(2) + c [/math]

[math]t_2 : frac(y + 5)(2) = x \cdot 4 - 2 frac(x + 4)(2) - 3 [/math]

[math]t_2 : frac(y + 5)(2) = 4x - x - 4 - 3 [/math]

[math]t_2 : frac(y + 5)(2) = 3x - 7 [/math]

[math]t_2 : y + 5 = 6x - 14 [/math]

[math]t_2 : y = 6x - 19[/math]

Determiniamo le coordinate del punto

[math]C[/math]

, punto di intersezione fra le due tangenti, impostando un sistema fra esse:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
y = - 4x - 4 &\
y = 6x - 19 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo con il metodo del confronto:

[math] -4x - 4 = 6x - 19 [/math]

[math] -4x -6x = 4 - 19 [/math]

[math] -10x = - 15 \to x = frac(15)(10) = 3/2 [/math]

[math] y = -4x - 4 = -4 \cdot 3/2 - 4 = -6-4 = -10 [/math]

Abbiamo quindi il punto

[math]C[/math]

di coordinate

[math] (3/2 ; - 10) [/math]

parabola

Svolgimento (2)

Troviamo il punto medio di

[math]AB[/math]

[math] x_M = frac(x_A + x_B)(2) = frac(-1 + 4 )(2) = 3/2 [/math]

[math] y_M = frac(y_A + y_B)(2) = frac( 0 + 5 )(2) = 5/2 [/math]

[math] M (3/2 ; 5/2)[/math]

Verifichiamo che la retta

[math]MC[/math]

è parallela all'asse della parabola; l'asse della parabola è parallelo all'asse

[math]y[/math]

Notiamo che il punto

[math]M[/math]

e il punto

[math]C[/math]

hanno la stessa ascissa, quindi sappiamo che la retta

[math]MC[/math]

ha equazione

[math]x = 3/2[/math]

, ed è dunque parallela all'asse

[math]y[/math]

Di conseguenza, essendo entrambe le rette parallele all'asse

[math]y[/math]

, saranno sicuramente parallele fra loro.

Geometria analitica: Scrivere l'equazione della parabola Î³ avente asse di simmetria parallelo all'asse y e passante per i punti A(-1 ; 0), B(4 ; 5) e D(3 ; 0)....