La formula di Pitagora per l'irrazionalità  di radice di 2

La formula di Pitagora per l’irrazionalità di radice

di 2

a cura di Flavio Cimolin

(pagina a cura di Francesco Speciale) (ultimo aggiornamento: 22/10/2005)

Apparentemente la relazione sembra banale, e infatti lo è per i matematici. Faccenda ben diversa

per i non matematici, per i quali la relazione sopra riportata appare pure banale, ma per altri motivi;

ben presto, infatti, dopo qualche tentativo di verifica per scovare i numeri interi giusti, la relazione

lascerà probabilmente a bocca aperta i non addetti ai lavori, e forse anche gli studenti più attenti alle

questioni matematiche.

Di cosa si tratta? Cosa sta ad indicare la formula? La formula è una relazione tra ed e sintetizza

m n,

qualcosa che è impossibile da sostenere come vero, sebbene la che l’espone appaia semplice.

forma

Siamo però davanti a qualcosa che non è in grado di conciliare la con la in questo

forma funzione;

caso la forma è corretta, anche elegante per certi aspetti, ma la sostanza è senza consistenza.

Da dove salta fuori questa relazione? I primi ad averla scoperta furono i matematici della scuola

filosofica di Pitagora. La scoperta dell’insostenibile verità saltò fuori probabilmente a seguito del

tentativo vano di trovare due numeri interi tali da rendere commensurabile il rapporto tra il lato e la

diagonale di un quadrato.

La scoperta dell’insostenibile verità comunque portò alla definizione di nuove entità numeriche, gli

irrazionali; queste entità numeriche sono caratterizzate da una quantità illimitata di cifre decimali

che si susseguono senza alcun ordine, apparentemente in modo casuale, e tali che ciascuna cifra

richiede un calcolo per essere determinata. 2 2

Ma indipendentemente da congetture d’ordine geometrico la relazione n = 2m è di per se

semplicemente impossibile. Infatti non è possibile l’esistenza di due numeri interi tali da rendere

vera l’uguaglianza numerica tra le due parti della relazione.

Un’osservazione elementare basata sul solo possesso delle conoscenze dell’argomento divisibilità

infatti ci porta ad una conclusione di questo tipo:

2 2

i. n deve essere un numero pari perché è uguale a 2m , e in quanto quadrato deve per forza

contenere il fattore un numero pari di volte.

2

2 indipendentemente dal fatto che sia pari o dispari, conterrà sempre il fattore un

ii. 2m m 2

numero dispari di volte http://www.matematicamente.it