La formula di Bretschneider

Pasquale Cutulo

I quattro lati e le diagonali di un quadrilatero qualsiasi non sono in realtà indipendenti.Fissando ad esempio tre lati e le due diagonali, il quarto lato è completamente determinato. Vediamo come calcolarlo:
Siano A,B,C,D i vertici di un quadrilatero. Chiamiamo a,b,c,d rispettivamente i lati AB, BC, CD, DA, e p,q rispettivamente le diagonali AC e BD. Indichiamo ancora con x, y, z, rispettivamente gli angoli ABD, DBC, ABC del vertice B.
Applicando il Teorema di Carnot ai triangoli ABD, DBC e ABC otteniamo:
d^2 = a^2 + q^2 - 2aq cos(x) ; c^2 = b^2 + q^2 - 2bq cos(y) ; p^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(z) (1)
Inoltre risulta che x = z - y, per cui cos(x) = cos(z) cos(y) + sen(z) sen(y) (2)
Sostituendo nella (2) i valori di cos(x), cos(y), cos(z) ricavati dalla (1), e ricordando che (sen(z))^2 = 1 - (cos(z))^2, otteniamo
(a^2 + q^2 - d^2) / 2aq = ((a^2 + b^2 - p^2) / 2ab)((b^2 + q^2 - c^2) / 2bq) + sqrt(1 - ((a^2 + b^2 - p^2) / 2ab)^2) * (1 - ((b^2 + q^2 - c^2) / 2bq)^2))
da cui facilmente possiamo ricavare la lunghezza del lato d, e cioè:
d^2 = a^2 + q^2 – ((a^2 + q^2 - p^2)(b^2 + q^2 - c^2)+ sqrt((2ab)^2 - (a^2 + b^2 - p^2)^2)((2bq)^2 - (b^2 + q^2 - c^2)^2)/(2b^2)
Infine, l’area del quadrilatero si può calcolare anche conoscendo solamente i 4 lati ed una sola delle diagonali,
Infatti, applicando la formula di Erone ai due triangoli ABC e ACD, otteniamo:
A = (sqrt ((b + p)^2 - a^2)(a^2 - (b - p)^2) + sqrt((d + p)^2 - c^2)(c^2 - (d - p)^2))/4