Punti, vettori e rette nel piano

Capitolo 2

(Richiami)

I Rrcnllq,Ndr

sul,I,o spAzlo VETToRIALE

V2................. .........24

2 DpenonNzA E TNDTPENDENZA

LINEARE

rN V". B.q.sr

nr V"................ ..26

3 PrANo AFFTNE

E RELAZTONE

Dr CHASLES. ..........................

2g

4 Pnonorro ScALARE

Dr DUE

vETToRr Dt V"............ 28

prANo)............................................30

5 PrANo (RrcHrAMr

Euclmno Dr GEOMETRTA

ANALrrrcA DEL

DistanTafra puntÍ

due punto

e punti

mediofra due doti.............. .........

JI

Equazione di una rettu piano...................

nel ....................

31

Angolo due rette...... ............

32

fra ...34

ESERCIZI

ó punti,

24 Cap.2: vettyr e re,lte piano

det (richiami)

I Richiami

sullo spazio

vettoriale

Vz

Nel piano possibile

n, è considerare

una,coppia punti

di (A, B) tale (A,

che B);c(B, A)

se A;cB' Tale coppia è un elemento

dell'insième

prodottà nxn. In questo

insieme

prodotto puo

si considerare

larelazione fr definita da:

(A, B)n(C, D) (A,

e> B) è equipollente (C,

a D) (V (A, B), (C, D)enxn).

Latelazione di equipollenzaappena

definita consente

di confrontare tutte le coppie di

punti (bipunti) di nxn. Due bipunti (A, B) (C,

e D) sono equipollenti se e solo se sono

verificate le seguenti

condizioni:

a) (AB)//(CD) (le rette (AB) (CD)

e sono

parallele)

:

b) AB cD (i segmenti e hanno la

[AB] stessa

lunghezza)

[cD]

c) i segmenti e hanno

lo

[AB] stesso

[CD] verso.

La telazione di equipollenza fr, così definita in nxr,è una relazione di equivale

nza e,

come tale, induce in nxn una partizione

in classi

di equivalenza.

L'insieme delle classi

di equivalenza, aff,

o insieme

quoziente, è l,insieme

V, dei vettori del piano. In

pratica, =

il vettore a ÀÉ rappresenta

non solo il bipunto (A,B), ma anche

tutti i

bipunti equipollenti (A,B).

ad Nel seguito

si eviterà

questì precisazione

e parlerà

si

solo =

di vettore

a ÀÉ.

rl vettore nullo Ó è il vettore che rappresenta

tutti i bipunti del tipo (A, A), (8, B),

ecc.: :...

ó : A A : BÉ .

+

= -d

Se d AB, il vettore (vettore opposto d) rappresenta

di il bipunto

(B,A):

-d=BI=-G.

In v2, insieme

dei vettori del piano, si definisce

una operazione

interna'

+'(detta somma

vettoriale) =

tale che,

se d G .

^ +

v :

6 BC, il vettore =

a +E elvettored Àd,

ae+Èd=Àd =Ò

oppure:

d+i

Dalla costruzione

precedente

risulta anche

immediata

la proprietà

commutativa

della

somma

vettoriale: d+b:6+d

Da tale proprietà risulta pure il significato geometrico del vettore somma: se i

rappresentanti

geometrici

di d e 6 hanno la stessa

origine, si costruisce

il

R.SANTORO:

Geometria Cap.2: Punti,

vettori,

rette piano

det (richiami)

25

parallelogramma

avente

come coppia di lati opposti

proprio i vettori d e 6: il vettore

somma Ò è la diagonale parallelogramma

del uscente

dall'origine comune

dei vettori

a e D . 'vede'

Dalla figura a lato si proprietà

la associativa

della

somma

vettoriale

definita in V2:

--------) (-' -) +

.i -

d + ( b + A ) = A B + l

B C + C D l : A B + B D = A D

\ /

l - l + + + -

=

(a

+6)+a =

Eó =

cB aè*tn AD

A [7Í+ ).

Dunque: A + ( 6

+ e ) = .

@ + 6 ) + e

Analogamente può

si giustificare

l'esistenza

dell'elemento

neutro, il vettore nullo. a

partire dalla definizione: d=AB=iÉ*EÉ=a*ó

Infine, si ha ancora: =i; =E*Ei =

ó (-d)

d

+ .

Riassumendo,

la struttura algebrica (Vz, +) risulta essere

una struttura gruppo

di

abeliano, quanto

in sono valide proprietà

le (V A, 6 Ò

ey

, ,):

=

LL A + A) + 6) + (proprietàassociativa)

e

6+ @

= Ó + d =

2. d + Ó d (esistenza

elemento neutro: 0 )

3. d+(-d)=(-d)+d=ó (esistenza, -d)

V d, del suo vettore opposto

4. d+6=6+d (proprietà commutativa).

La moltiplicazione di un vettore A diVzper un numero reale k è un vettore kdche

ha: . stessa

direzione

di Z

. lunghezza volte lalunghezzadi

ltcl d

. stesso

verso

di d se k> 0, verso

opposto quello

di di se

d k<0.

operazione

è una operazione

esterna

aY risulta

Questa un'applicazione

rinquanto

RxV, + Vz.

/:

L'insieme

dei numeri

reali R,

si chiama

insieme

degli

operatori

ed i suoi

elementi

sono

gli operatori. R.SANTORO'.

Geometria

26 Cap.

2: Punti,

vettorie rette (richiami)

detpiano

Per la moltiplicazione

esternaayrvalgono le seguenti

proprietà

(vu, eR e

B

d,6 eYr): =

a. o(Ba) (crB)d (proprietà

associativa

del prodotto degli operatori)

b. a(d + 6): aa + (p.

a6 distributiva

rispetto

alla somma

dei vettori)

=

(u

c' + ad + (p. distributiva

rispetto

B)d alla somma

Fd degli operatori)

'1'

=

d. d

1'd (esistenza

elemento

neutro degli opÉratóri)

' '

Se si considera

la struttura

algebrica

(V2, +), +

R, dove indica I'operazion

e interna

'

di somma

di due vettore di v, e' R. indica I'insieme

degli operatori

per la

moltiplicazione esterna di un vettore per un numero reale, valgono pèr tale struttura le

proprietà prima

viste separatamente

(da l. a4. e da a. a per

d.) e questo

prende

il nome

di spazio vettoriale dell'insieme dei vettori piano.

del

2 Dipendenza

e indipendenza

lineare

in V2. Base

di v2.

Se due =

vettori d, 6 e V, sono tali che (k

6 kd è un numero reale), dalla defin izione

di moltiplic azione

di un vettore per un numero reale risult a che d e hanno

6 la stessa

direzione,

o anche

che i vettori d e 6 sono collineari.

-

Larelazione precedente =

può anche scriversi: kA 6 Ó. Si dice anche questo

che, in

caso, i vettori d e 6 sono

lìnearmente dipendenti, inquanto possibile

è trovare due

-1, -

numeri rcah, k e certamente :ó.

non entrambi

nulli, tali che risulti: kd 6

Se, invece,

è impossibile

trovare

due numeri reali o e non entrambi n