Triangolo di Pascal e formula del binomio

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Successioni e Serie

Triangolo di Pascal e formula del binomio

Un binomio è un'espressione della forma x+y. Espandere le potenze di un binomio è facile.

y)n

Il termine k = n dell'espansione di (x + è dato dalla formula del binomio di Newton:

n n

!

n n k k

. .

x y y

x

.

n k k

!

!

k =0

Espandiamo le seguenti potenze di binomi:

0

x y si espande in 1

1

x y x y

si espande in

2 2 2

. .

2 x y y

x y x

si espande in

3 3 2 2 3

. .

. .

x y x y 3 x y y

3 x

si espande in

4 4 3 2 2 3 4

. . . .

. .

4 x 4 x y

x y x y 6 x y y

si espande in

5 5 4 3 2 2 3 4 5

. . . . . .

. .

5 x 10 x 5 x y

x y x y 10 x y y y

si espande in

Una interessante struttura ricorre nelle potenze di ciascun termine dell'espansione. Nota che in ciascun

termine la potenza di x decresce mentre la potenza di y cresce.

4 4 3 2 2 3 4

. .

. . . .

x y x y 6 x y y

4 x 4 x y

si espande in

Nota come la potenza di x decresce da 4 a 0 mentre la potenza di y cresce da 0 a 4.

Anche i coefficienti di ciascun termine verificano una interessante disposizione. Questa struttura è

conosciuta come Triangolo di Pascal, una parte del quale è mostrata qui sotto.

Nota che ciascuna riga inizia e termina con un 1 e che tutti gli altri valori sono la somma dei due

numeri sulle diagonali soprastanti. Potete costruire la prossima riga del triangolo di Pascal?