Binomio e la sua potenza

Il binomio e la sua potenza

Premessa

“Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo. Il fatto è che pochi se ne rendono conto”, recita un celebre aforisma del poeta portoghese Fernando Pessoa. Ed il concetto che esprime è tanto fondato quanto, per questo, degno di biasimo. Non è però la generica evidenza di un comportamento che va condannata, bensì chi è alla base di quel comportamento: le persone, che sempre più abituate agli agi e alle comodità offerte dal progresso tecnologico e dalle migliorate condizioni di vita, tendono a mettere da parte gli strumenti della riflessione e dell’esercizio della mente, non più strettamente necessari nell’affrontare i problemi di tutti i giorni. Ma vale la pena di pensare meno per vivere di più? È realmente migliore un’esistenza lunga, tranquilla, priva di stimoli, di una che può essere illuminata dal fulgido lampo dell’idea, dalla forza della lucidità, dalla bellezza dell’arte, dal coraggio della fede, dall’eternità della scienza, dall’estasi dell’amore e ahimè, perché no, dalla brutalità della violenza?

Un mondo come quello di oggi, che sembra aver affogato la sua identità nell’oceano del conformismo di massa, che pare aver smarrito la sua coscienza storica nella spirale di ripetitività dell’ordinario, dimentico dello slancio verso la conquista di lidi inesplorati un tempo alimentato dalla sana abitudine alla curiosità, forse risponderebbe: ”Meglio starsene a casa propria, farsi gli affari propri, lasciare che delle faccende importanti si occupino direttamente i responsabili competenti”, senza sforzarsi di capire i moventi di questioni troppo lontane dalla dimensione quotidiana per essere affrontate con interesse sentito. Una ignavia e un’inerzia imperanti divorano lentamente, nell’ombra, la memoria del grande passato scritto dagli uomini. Un passato complicato, costellato di vittorie, di successi, di amarezze, di disgrazie, di errori e di passi in avanti, sempre però in nome di un’evoluzione, di un cammino.

Ora l’attitudine diffusa è quella di non assumere una posizione per paura delle conseguenze; e si rischia di permettere a chi non lo merita di decidere in favore di scelte che, se ci impegnassimo a valutare, magari non saremmo disposti a condividere. E pensare che la società del consumismo è allo stesso modo società della comunicazione. Eppure non bastano tutti i mezzi d’informazione che ci circondano a sollecitare in noi l’impegno alla formazione di un’opinione precisa, che poi può essere facilmente sottoposta a confronto, al fine di promuovere una crescita nella visione delle cose che investe entrambe le prospettive coinvolte nel faccia a faccia: esse sono messe, così, in condizione di rendersi maggiormente consapevoli dei propri limiti come delle proprie virtù. La chiave che apre la cella dell’opprimente indifferenza sta lì, a portata di mano: è nel dialogo, nell’esperienza di una realtà che porta due mondi affini ad accostarsi, o due entità opposte a collidere, in un continuo gioco di fusioni e disgregazioni in grado di generare fenomeni dalla potenza inesauribile, che cambiano in perpetuo la maniera di percepire l’infinito universo che si schiude davanti ai nostri occhi.

Un semplice rapporto (ideologico e personale) tra due spietati dittatori è capace, con la sua aberranza, di imprimere in noi un ricordo indelebile, di suscitare il giusto disprezzo verso orribili iniquità. L’armonia di una legge immutabile che rivela l’analogia sottesa a fenomeni fisici e astronomici distanti all’attenzione di uno scrutatore superficiale; la perfezione di una relazione matematica nella disarmante coerenza manifesta nell’associazione di due singole unità che, amplificandosi nell’unione, originano qualcosa di nuovo e di più complesso; queste circostanze contribuiscono a far progredire la nostra mentalità, inducendoci a porci delle domande sulla straordinaria ricorrenza di norme razionali che paiono celarsi ovunque.

E che dire poi di una certa filosofia nata dalla convergenza di un paio di menti particolarmente abili nello smascherare i meccanismi a fondamento della storia dell’uomo per esortare individui sfruttati a combattere un nemico impari, ristabilendo la legittima uguaglianza? E di un poeta che, aderendo alle concezioni di colui che riteneva un maestro da imitare, si convinse di voler dare una sfumatura intimistica e non più classica alla propria opera, ergendosi a padre di un’intera e rivoluzionaria corrente letteraria? Di due pittori agli antipodi, che, entrando in stretto contatto reciproco, scrissero uno dei capitoli più fiorenti della propria produzione artistica (e più grigi della propria biografia)? Di un giovane e presto famoso autore, ispirato dall’attrazione verso una donna alla redazione di componimenti insuperati per la loro carica espressiva, infiammata da un amore che traspare in tutta la sua sincerità e devozione? Di due letterati inglesi, amanti, diversi, ma romantici e sognatori, spintisi, pur nella vicendevole eterogeneità dei loro scritti, a focalizzare la propria indagine sul medesimo disagio, patito dall’uomo nella società come nella propria interiorità?

Tutti quanti esempi a sostegno di un procedimento che vede, a partire dall’elementare avvicinamento di due strutture autonome, lo sviluppo repentino di uno sconvolgimento destinato a cambiare le sorti delle vicende terrene. La centralità del ruolo che assume questo moto dialettico di valori e ideologie nel guidare la specie umana verso la civiltà finisce allora per divenire innegabile, ed essenziale nello scuotere gli animi dei contemporanei all’obiettivo che l’etica naturalmente addita: la reazione alla passività, il viaggio, nella vita, verso l’orizzonte della verità.

Federico Fornari

Schema concettuale lineare

Il binomio e la sua potenza

Matematica => binomio di Newton

Fisica => elettricità & magnetismo

Storia di un percorso verso la verità

Geog. astronomica => stelle doppie

Astri che si incontrano

Storia d. arte => Van Gogh & Gauguin

Il periodo di Arles (1888)

Lett. italiana => Foscolo & Monti

Ultime lettere di Jacopo Ortis vs.

Ode al signor di Montgolfier

Lett. latina => Properzio & Cinzia

Le Elegiae: l’amore, il mito, la patria

Lett. inglese => Mary & Percy Shelley

Frankenstein vs. Ode to the West wind

Filosofia => Marx & Engels

Il Manifesto del partito comunista

Storia => Hitler & Mussolini

Regimi totalitari nazista e fascista

Bibliografia

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 Bologna, Zanichelli editore + materiale fornito dal docente di letteratura inglese;

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Sitografia

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http://www.vangoghgauguin.com

http://www.stile.it/artespettacoli/

http://www2.polito.it/didattica/polymath/

http://spazioweb.inwind.it/letteraturait/

Matematica

Isaac Newton (1642-1727), il messia della scienza, non poteva venire alla luce in un giorno più consono di quello di Natale: e così fu, quasi come se le circostanze si incaricassero già di segnare il destino di un personaggio che, con la sua fantasia, la sua immaginazione, il suo spirito indagatore, ha consentito all’umanità di svelare alcuni dei misteri più affascinanti dell’universo. Forse “universo” è il concetto più adatto per trasmettere l’idea dell’ampiezza del campo d’azione lungo cui l’estro del genio di Woolsthorpe ebbe modo di esplicarsi in tutto il suo splendore. La vita del grande scienziato inglese appare come una volta celeste che brilla di intuizioni, una più sfavillante dell’altra: a lui si devono la definizione dello spettro della luce visibile, la teoria della forza di gravitazione, la sistematizzazione delle leggi di Keplero, il progresso della visione cosmica eliocentrica, le tre leggi fondamentali del moto dei corpi (i tre principi di Newton). E sono proprio le intuizioni legate al mondo della fisica, alla spiegazione dei meccanismi che regolano la realtà, ad averne decretato la fama imperitura.

Tuttavia l’elenco dei suoi meriti va oltre la fisica, e anzi le scoperte concernenti i fenomeni naturali pongono le loro stesse basi nell’approfondito studio e nell’impareggiabile utilizzo degli strumenti matematici. Newton condivise infatti con il collega tedesco Gottfried Leibniz la paternità di un innovativo metodo di analisi: il calcolo differenziale. La disputa tra i due per la rivendicazione dell’esclusiva assoluta si protrasse per lungo tempo, dal momento che Newton sosteneva di essere pervenuto al risultato prima che Leibniz pubblicasse i suoi trattati curati secondo organica esposizione dei passaggi logico-matematici.

Entrambi furono in tal modo costretti a rinunciare al copyright personale, ma l’inglese poté vantare per sé l’attribuzione di una delle equazioni più meravigliose, utili, pratiche, semplici mai coniate con il linguaggio dei numeri: il teorema binomiale. Grazie a questa relazione è possibile sviluppare il calcolo della ennesima potenza di un binomio, ossia la somma di due quantità variabili discrete. A seconda del valore assegnato all’esponente cui il binomio è elevato, si modifica il numero di termini del polinomio risultante, e il coefficiente di ciascun termine del polinomio si ottiene seguendo un andamento schematico delineabile tramite una particolare costruzione geometrica, il triangolo accostato al nome del cinquecentesco matematico italiano Niccolò Tartaglia.

Questo celebre triangolo, dove ogni numero, tranne il numero generatore al vertice del triangolo (l’uno), è la somma dei due numeri sovrastanti (ai bordi si trova sempre 1, perché i due numeri sovrastanti sono, in questo caso, da una parte 1 e dall’altra nessun numero, cioè zero), era già noto agli arabi nel XI-XII secolo, e sono stati ritrovati documenti che attestano la sua piena adozione anche da parte dei cinesi, dal XIV secolo. Riportato in auge dal citato Tartaglia, esso divenne oggetto di studi da parte del francese Blaise Pascal, che nel 1654 scrisse un trattato (Le triangle aritmétique) in cui ne enunciava le proprietà.

Fu Pascal il primo ad evidenziare che la regolarità con cui si presentavano le cifre all’interno della figura era riconducibile ad una legge combinatoria. Questi rappresentò il triangolo non in forma isoscele, ma come una specie di triangolo rettangolo, con il cateto minore e l’ipotenusa (non più i lati obliqui) delimitati dalle serie di 1, così da stabilire nell’uno al vertice la riga e la colonna zero, per poi numerare di seguito le altre righe e colonne. Costruì insomma una sorta di riferimento cartesiano capace di identificare ciascun termine del triangolo in base a precise coordinate (una certa riga e una certa colonna).

Quel che ricavò fu straordinario: se per esempio si considerava quanti gruppi diversi di 2 componenti fosse possibile creare con 5 oggetti distinti, il responso era 10. In gergo combinatorio ciò equivaleva a chiedersi quante sono le combinazioni possibili di 5 oggetti di classe 2: ebbene, Pascal osservò che il termine alla riga 5, colonna 2 era 10. Presto egli si accorse che la relazione valeva per tutti i termini del triangolo, e, in forma prettamente matematica, si può scrivere che il termine di riga e colonna è uguale a

n k

( )( ) ( ) n

n 1 2 ... 1  

  n n n n k

− − − + , dove indica combinazione di oggetti di classe Newton

n k.

 

  =  

  ! k

k k  

 

Newton non doveva fare altro che raccogliere le informazioni in un disegno unitario, e lo fece con abilità da maestro, adoperando i mezzi che da solo si era procurato; si servì fondamentalmente di due elementi appartenenti alla sua nuova analisi matematica, la funzione (relazione biunivoca tra due variabili) e la derivata (ovvero una funzione che in ogni punto indica la pendenza della retta tangente ad un’altra funzione, definita rispetto ad essa primitiva).

Prima di Taylor e Mac Laurin, Newton si era occupato dello sviluppo di funzioni in serie infinite che le approssimassero secondo il grado voluto a partire da un determinato punto. Queste serie costituiscono esclusivamente funzioni di tipo algebrico, polinomiale, in conformità con lo sviluppo di un binomio, e sono ricavabili facendo sì che le derivate progressive della funzione da approssimare assumano gli stessi valori registrati dalle derivate progressive dell’approssimazione polinomiale.

Egli approssimò, non a caso, la funzione , essendo un esponente arbitrario; l’approssimazione polinomiale è

n

(

1 ) n

y x

= +

2 3 4

in forma , con costanti da determinare. Derivando

... a, b, c, d, e…

y a bx cx dx ex

= + + + + +

successivamente il polinomio da una parte (indichiamo con un apice il grado di derivazione) e la funzione dall’altra, si ha: ( )

′ 2 3

2 3 4 ... 1

n

y b cx dx ex −

= + + + + ′ 1

y n x

= + )( )

(

′

′ 2

2 6 12 ...

y c dx ex

= + + + 2

n −

′

′ 1 1

y n n x

= − +

′

′

′ 6 24 ...

ex

y d

= + + ( )( )( ) 3

n −

′

′

′ 1 2 1

y n n n x

= − − +

′

′ ‘

′ 24 ...

y e

= + ( )( )( )( ) 4

n −

′ ′

′

′ 3 1

1 2 n x

n n n

y +

− − −

=

Poniamo quindi che (per comodità) in zero funzione e polinomio assumano lo stesso valore, così come le loro derivate successive:

( ) 1

a =

n ...

1 0 0 0 0 0

a b c d e

+ ⋅ + ⋅ +

+ = + ⋅ + ⋅ b n

=

( ) 1

n −

1 0 2 0 3 0 4 0 ...

n b c d e

+ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ( )

1

n n −

c =

( )( ) 2

n − 0 12 0 ...

1 0 2 6

1 c d e

n n + ⋅ +

+ = + ⋅

− 2

( )( )

( )( )( ) 3

n − 1 2

n n

n − −

1 2 1 0 6 24 0 ...

n n n d e

− − + = + ⋅ + d =

( )( )( )( ) 6

4

n −

1 2 3 1 0 24 ...

n n n n e

− − − + = + )

( )( )(

1 2 3

n n n n

− − −

e = 24

Sostituendo i valori delle costanti abbiamo:

( ) ( )( ) ( )( )( )

1 1 2 1 2 3

n n n n n n n n

n − − − − − −

( ) n 2 3 4

1 1 ...

x nx x x x

+ = + + + + +

2 6 24

Ora, (1 + è un binomio in cui una sola quantità è variabile (x), quindi per generalizzare

x) a

rimpiazziamo con , essendo e entrambi parametri variabili. A questo punto diventa:

x a b

b )

)(

)(

(

)

( )(

)

(

)

(

)

n n      

2 3 4

1 1 2 1 2 3

b a a b a n n a n n n a n n n n a

− − − − − −

+

+ 

 

  

   

1 ...

n +

+ + +

= = + 

 

  

   

2 6 24

2 3 4

n

b b

b b b b



 

  