Serie geometriche

Successioni e Serie

Serie geometriche

Una serie geometrica è la somma dei termini di una progressione geometrica.

Variabili

• Numero di termini: n
• Primo termine: a₁
• Ragione: q

Formula

Somma parziale n-esima di una serie geometrica:

s_n = a₁ ^{1 - qn}/_{1 - q}

Esempio 1

Troviamo l' 8^a somma parziale della serie geometrica 1, 2, 4, 8, …

• Numero di termini: n = 8
• Primo termine: a₁ = 1
• Ragione: q = 2

Somma dei primi n termini:

s_n = a₁ ^{1 - qn}/_{1 - q}

Somma: s_n = 255

Successioni e Serie

Serie geometriche

Una serie geometrica è la somma dei termini di una progressione geometrica.

Variabili

Numero di termini:n

Primo termine:a₁

Ragione:q

Formula

Somma parziale n-esima di una serie geometrica:

s_n = a₁ (1 - qⁿ) / (1 - q)

Esempio 1

Troviamo l' 8^a somma parziale della serie geometrica 1, 2, 4, 8, …

Numero di termini:n := 8

Primo termine:a₁ := 1

Ragione:q := 2

Somma dei primi n termini:

s_n := a₁ (1 - qⁿ) / (1 - q)

Somma:

s_n = 255

Un altro modo, per indicare una somma parziale n-sima, è quello di usare l'operatore sommatoria e la formula per una progressione geometrica:

Termini:

k := 1..n

Somma:

∑ a 1 * q^k−1 = 255

Esempio 2

Una palla da tennis è lasciata cadere da un'altezza di 0.8 m. Essa rimbalza ogni volta a 7/10 della sua altezza precedente. Trova una serie geometrica che dia origine alla distanza totale percorsa dalla palla di tennis. Quale distanza ha percorso la palla da tennis dopo 5 rimbalzi?

Numero di termini:

n := 5

Altezza iniziale:

h₁ := 4/5 · m

Ragione:

q := 7/10

Distanza percorsa:

( h₁ + q h₁ ) + ( q h₁ + q² h₁ ) + ( q² h₁ + q³h₁ ) + ...

Formula della sommatoria:

D=h₁ + ∑_k=1^∞ 2 h₁ q^k

Distanza percorsa dopo 5 rimbalzi:

h₁ + ∑_k=1ⁿ 2 h₁ q^k - h₁ qⁿ = 3.771 · m

Distanza totale in su e in giù percorsa dalla palla dopo un numero infinito di rimbalzi: