Numeri interi, razionali e reali

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Numeri interi, razionali e reali

L’insieme dei numeri naturali è certamente troppo povero per la Matematica. È necessario quindi

ampliarlo e arricchirlo.

I numeri interi ≤

L’operazione di somma è ben definita nell’insieme si ha che, per esempio, se n m allora

N;

∈ −

esiste uno ed un solo p tale per cui n + p = m; tale p si denota anche con p = m n.

N

Tuttavia ciò non è più vero se n > m. I numeri interi tornano utili per porre rimedio a tale

inconvenienza; l’insieme dei numeri interi, denotato con è definito come l’insieme unito

Z, N

{−1, −2, −3, }:

all’insieme dei cosidetti numeri negativi, ovvero l’insieme dato da . . . si ha quindi

∪ {−1, −2, −3, }.

= . . .

Z N

Nell’insieme è anzitutto ben definita l’operazione di somma, estensione della somma tra numeri

Z

naturali. −1 −5 −3.

Risulta + 4 = 3, oppure ancora + 2 =

Esempio:

Ben definito è anche il prodotto tra due numeri interi, seguendo la cosidetta regola dei segni

che fornisce il segno del prodotto tra due numeri interi, una volta noto il segno dei due fattori.

Più precisamente la regola dei segni si può riassumere, formalmente, come segue:

· ·− − − ·+ − − ·−

+ +=+ + = = = +.

· −18, −2 ·

Risulta 3 (−6) = od ancora (−1) = 2 (i numeri senza segno sono da

Esempio 2:

considerarsi, per convenzione, positivi).

In base a quanto detto, in esiste un’ulteriore operazione ben definita, che è la differenza:

Z

− −

in l’operazione z p ha infatti sempre un risultato, e precisamente z p = q se e solo se

Z

z = p + q.

I numeri razionali ∈

Un’altra operazione che crea problemi è l’inversione del prodotto: se p, q non è detto che

Z

·

esista un numero intero r tale per cui si abbia p = q r. Per dare una soluzione a questo problema

si introducono i numeri razionali, ovvero i numeri della forma p/q (le cosidette frazioni), dove p

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e q sono due numeri interi, con q = 0.

In realtà il passaggio all’insieme non è cosı̀ indolore come può sembrare: va fatta attenzione

Q

al fatto che diverse coppie di numeri interi possono corrispondere allo stesso numero razionale

(due frazioni possono essere equivalenti): allo scopo si pone

p

p 2

1 ⇐⇒

= p q = p q .

1 2 2 1

q q

1 2

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