Massimi e minimi per funzione di due variabili

Sia f(x, y) = x⁴ – y² + 6 – 2x² + 4y; sia (x₀, y₀) l’unico punto di massimo relativo di f. Calcolare f(x₀, y₀).

Soluzione. ∇f = 0 porta al sistema

• 4x³ – 4x = 0
• –2y + 4 = 0

che ha come soluzioni P₁ = (0, 2), P₂ = (1, 2) e P₃ = (–1, 2). L’Hessiano di f è dato da

H =

• ( 12x² – 4        0 )
• (             0        –2 )

Ne segue che

H(P₁) =

• ( –4         0 )
• (  0        –2 )

che ha determinante positivo; essendo –2 < 0, si ha che P₁ è punto di massimo. Si ha poi

H(P₂) = H(P₃) =

• (  8        0 )
• (  0      –2 )

la quale ha determinante negativo. Quindi P₂ e P₃ sono punti di sella. Allora si ha f(0, 2) = 10.