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</div>Determinare massimi e minimi liberi della funzione
4 2 x 4
f (x, y) = x − 2x + (e − y) .
I punti critici di f sono dati dal sistema
soluzione. 3 x 3 x
4x − 4x + 4(e − y) e = 0
x 3
−4(e − y) = 0
che ha come soluzioni 1
.
P = (0, 1) P = (1, e) P = 1,
1 2 3 e
L’Hessiano di f è 2 x x 3 2x x 2 x 2 x
12x − 4 + 4e (e − y) + 12e (e − y) −12(e − y) e
H = x 2 x x 2
−12(e − y) e 12(e − y) .
Osserviamo che tutti i punti critici annullano det H, per cui per tutti si necessita uno studio
locale. Osserviamo inoltre che ∂f x
(x, y) ≥ 0 ⇐⇒ y ≥ e
∂y x x
per cui fissato x, la funzione y 7−→ f (x, y) è crescente se y > e , ed è decrescente se y < e ; lungo
x 4 2
la curva y = e , f (x, y) = x − 2x che ha un massimo locale in x = 0 e due minimi assoluti
1 sono minimi;
in x = ±1; dunque il punto (0, 1) è di sella per f . Invece i punti (1, e) e −1, e
infatti, ad esempio, consideriamo (1, e), e l’intorno
2
U = (x, y) ∈ |x − 1| < 1, |y − e| < 1 .
R
Allora preso un generico P = (x, y) ∈ U , si ha x
f (x, y) ≥ f (x, e ) ≥ f (1, e) 1 è minimo locale.
ne segue che (1, e) è minimo locale; analogamente si vede che anche −1, e
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