Limiti funzioni in due variabili 5

Dire se è continua nell'origine la funzione

f(x, y) = {

• xy/sqrt(x² + y²) (x, y) ≠ (0, 0)
• 0 (x, y) = (0, 0).

soluzione. La funzione data è sicuramente continua per (x, y) ≠ (0, 0), poiché composizione di funzioni continue; per controllare la continuità nell'origine andiamo a calcolare:

lim(x,y)→(0,0) f(x, y).

Passando a coordinate polari

• x = ρ cos ϑ
• y = ρ sin ϑ

si ha che

F(ρ,ϑ) = f(ρ cos ϑ, ρ sin ϑ) = ρ²cos ϑ sin ϑ/ρ = ρ cos ϑ sin ϑ

da cui

0 ≤ |F(ρ, ϑ)| ≤ ρ.

Per il Teorema del confronto si ha

limρ→0 F(ρ, ϑ) = 0

uniformemente in ϑ ∈ [0, 2π); dunque effettivamente il limite vale 0, e quindi f è continua nell'origine.