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\( f(x, y) = \left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\0 & (x, y) = (0, 0),\end{array}\right. \)
allora \( f \) risulta continua in \( (0,0) \)?
Soluzione. Andiamo a calcolare:
\( \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} f(x,y) \)
Passando a coordinate polari\( \left\{\begin{array}{ll}x = \varrho \cos \vartheta \\y = \varrho \sin \vartheta \end{array}\right. \)
si ha che\( F(\varrho, \vartheta) = f(\varrho \cos \vartheta,\varrho \sin \vartheta) = \frac{\varrho^{3} \cos^{2} \vartheta \sin \vartheta}{\varrho^{2}} = \varrho \cos^{2} \vartheta \sin \vartheta \)
da cui\( 0 \leq \lvert F(\varrho, \vartheta) \rvert \leq \varrho \).
Per il Teorema del confronto si ha\( \lim_{\varrho \rightarrow 0} F(\varrho, \vartheta) = 0 \)
uniformemente in \( \vartheta \in [0, 2\pi] \); dunque effettivamente il limite vale 0, e quindi \( f \) è continua nell’origine.
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