Esercizio sulle derivate parziali 4

Data la funzione 2 2

 2x y − xy (x, y) 6 = 0



f (x, y) = 2 2

x + y

0 (x, y) = 0



dire se è continua in (0, 0), e dimostrare che non è ivi differenziabile.

Si ha

soluzione. 2 2

2x y − xy |xy||2x − y|

0 ≤ = ≤

2 2 2 2

x + y x + y

2 2

(x + y )|2x − y| 1

1 = |2x − y| → 0

≤ 2 2

2 x + y 2

per (x, y) → (0, 0). Quindi f è continua in (0, 0).

Andiamo a calcolare le derivate parziali di f in (0, 0); si ha

∂f 0 − 0

(0, 0) = lim =0

∂x t

t→0

e 0 − 0

∂f (0, 0) = lim = 0.

∂y t

t→0

Se f fosse differenziabile, allora il differenziale dovrebbe essere l’applicazione nulla; ma allora

dovrebbe essere 2 2

2x y−xy

2 2

x +y = 0.

lim p 2 2

x + y

|(x,y)|→0

Ovvero 2 2

2x y − xy = 0.

lim 2 2 3/2

(x + y )

|(x,y)|→0

Ma lungo y = mx si ha 2 2 2

2x y − xy 2m − m

= ,

2 2 3/2 2 3/2

(x + y ) (1 + m )

per cui il limite non esiste ed f non è differenziabile in (0, 0).