Esercizio sulle derivate 2

Per ciascuna delle seguenti funzioni, si dimostri che esiste ed è derivabile la funzione inversa,

denotata con g, e si calcoli la quantità a fianco indicata.

(1) 3

4x =?

f (x) = 3x + 2 + e , ′

g (3)

(2) 2

4

f (x) = 2x + 3 log x, =?

′

g (2)

(3) 1

−6x =?

f (x) = e − 6x + 1, ′

g (2)

(4) 1

6(x−1) 5

f (x) = e + 6x , =?

′

g (7)

(5) 7

f (x) = 7x + sin(x + 1), =?

′

g (−7)

soluzione.

(1) La funzione data è definita e derivabile in tutto inoltre si ha

R;

′ 4x

f (x) = 3 + 4e > 0, ∀x ∈ R. ′

Dunque f è strettamente monotona (crescente), dunque invertibile, e f (x) 6 = 0 per ogni

x ∈ Ora si ha

R. f (x) = 3 ⇔ x = 0

e dunque 1

′

g (3) = = 1/7

′

f (0)

da cui 3 = 21.

′

g (3)

(2) La funzione data è definita e derivabile in (0, +∞); inoltre si ha

3

′ 3

f (x) = 8x + > 0, ∀x ∈ (0, +∞).

x ′

Dunque f è strettamente monotona (crescente), dunque invertibile, e f (x) 6 = 0 per ogni

x ∈ (0, +∞). Ora si ha f (x) = 2 ⇔ x = 1

e dunque 1 1

′

g (2) = =

′

f (1) 11

da cui ′

2/g (2) = 22.