Esercizio sulle derivate 12

Discutere la derivabilità della seguenti funzione definita su tutto R:

0 x =0

f (x) = 1

2 x 6 = 0.

x sin x

Il grafico della funzione data è il seguente:

soluzione.

La funzione f è continua anche in x = 0; infatti

1 2

2 | ≤ x

0 ≤ |x sin x

e si applica nuovamente il Teorema del confronto per i limiti. Andiamo a calcolare, se esiste,

′

f (0) (altrove non ci sono problemi di derivabilità):

1

2

h sin

1

′ h

f (0) = lim = 0.

= lim h sin

h h

h→0 h→0

′

Ne segue che f è derivabile anche in x = 0. f è data da, per x 6 = 0,

1

1 1 1

1

′ 2

f (x) = 2x sin + x cos − − cos

= 2x sin

2

x x x x x

la quale ha grafico: ′ ′

Si evince dal grafico, e si verifica direttamente, che f non ha limite per x → 0; ne segue che f

non è una funzione continua. Dunque f è una funzione derivabile in x = 0, ma con derivata non

continua in x = 0.