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Sintesi

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Risolvere il problema di Cauchy

{ u'(x) = tu2(x) log xu(1) = 4.

soluzione. L'equazione data è a variabili separabili; calcoliamo dunque

∫ 1/u2 du = -1/u + k1

e

∫ x log x dt = x2/2 log x - ∫ x2/2 1/x dx =

        x2(2 log x - 1)4 + k2.

Ne segue che la soluzione è data da

      -1/u(x)       x2(2 log x - 1)                                                4      + c  ∈  ℝ

da cui

u(x) = 4                  x2(1 - 2 log x) + c.

Per trovare la soluzione particolare, imponiamo u(1) = 4:

          4 = u(1) = 4                                                1 + c

da cui c = 0. Ne segue che la soluzione particolare è (localmente):

          u(x) = 4              x2(1 - 2 log x).

Osserviamo che è sempre u ≠ 0; tale soluzione è quindi definita in tutto (0, +∞).

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Publisher
lussardi
1 pagine