Equazioni differenziali ordinarie 5

Risolvere il problema di Cauchy

{ u'(x) = xu(x) \sin x u(0) = 1. }

Soluzione. Tale equazione è lineare; calcoliamo dunque

\int x \sin x dx = -x \cos x + \int \cos x dx = \sin x - x \cos x + k_1

e

\int 0 dx = k_2.

La soluzione è dunque data da

u(x) = e^{\sin x - x \cos x} (c + 0) = ce^{\sin x - x \cos x}.

Infine

1 = u(0) = ce^0 = c \Rightarrow c = 1.

La soluzione particolare è quindi

u(x) = e^{\sin x - x \cos x}.