Equazioni differenziali ordinarie 24

Risolvere il problema di Cauchy

 ′′ ′ x

u (x) + 2u (x) + u(x) = 4e

 u(0) = 2

′

u (0) = 0.



Il polinomio caratteristico è dato da

soluzione. 2

λ + 2λ + 1

che ha due radici coincidenti λ = λ = −1. Ne segue che due soluzioni indipendenti dell’equa-

1 2

zione omogenea associata, sono date da −x −x

u (x) = e u (x) = xe .

1 2

Per trovare la soluzione dell’equazione, si può cercare una soluzione particolare della forma

x

v(x) = αe

Si ha ′ x ′′

v (x) = αe = v (x).

Quindi, affinchè v sia soluzione deve essere

′′ ′ x

v (x) + 2v (x) + v(x) = 4e

e dunque x x

4αe = 4e

per ogni x reale; tale equazione (in α) ha la soluzione α = 1. Ne segue che una soluzione

dell’equazione è x

v(x) = e .

Quindi tutte le soluzioni sono date da −x −x x

u(x) = c e + c xe + e .

1 2

Inserendo u(0) = 2 si ha 2 = u(0) = 1 + c =⇒ c = 1.

1 1

′

Calcolando u (x), si ottiene ′ x −x −x

u (x) = e − e (1 + c x) + e c .

2 2

Infine si ha ′

0 = u (0) = 1 − 1 + c =⇒ c = 0.

2 2

Ne segue che la soluzione particolare è x −x

u(x) = e + e .