Equazioni differenziali ordinarie 22

Sia u : → la soluzione del problama di Cauchy

R R  ′′

u (x) + u(x) = 3x

 u(0) = 0

′

u (0) = 4.



u(π)

′

Calcolare u (2π) + .

π

L’equazione caratteristica risulta essere

soluzione. 2

λ + 1 = 0

che ha come soluzioni λ = ±i. Quindi le soluzioni dell’equazione omogenea sono date da

1,2 ū(x) = c cos x + c sin x.

1 2

Il secondo membro è di tipo polinomiale, e 3 non è radice caratteristica, per cui cerchiamo, come

soluzione particolare un polinomio del tipo u (x) = ax. Si vede subito che u (x) = 3x è soluzione

p p

′′

particolare, essendo u (x) = 0. Allora l’integrale generale dell’equazione data è

p u(x) = c cos x + c sin x + 3x.

1 2

La condizione u(0) = 0 fornisce c = 0; poi si ha

1 ′

u (x) = c cos x + 3

2

′

da cui u (0) = 4 se e solo se c = 1. Quindi la soluzione è data da

2 u(x) = sin x + 3x

′

da cui u (x) = cos x + 3, e dunque 3π

u(π)

′ =4+ = 7.

u (2π) + π π